Найдите значения параметра а, при каждом из которых уравнение ||x+5|+a|=7 имеет ровно 3 корня

||x+5|+a|=7 эквивалентно паре уравнений (по свойству модуля)
1) |x+5| + a = 7 или
2) |x+5| + a = -7

Можно переписать:
1) |x+5|  = 7 - a
2) |x+5|  = -7 - a

Так как слева должны быть модули, то справа должно быть неотрицательное число. Отсюда
7-a ≥ 0 и -7 - a ≥ 0, или a≤7 и a≤-7, то есть a≤-7.

Уравнение вида |x+5| = C в общем случае имеет два корня: x = C - 5 и x = -C + 5. Для того чтобы корень был 1, необходимо, чтобы C = 0. Поэтому для того чтобы исходное уравнение имело только 3, нужно, чтобы либо
7 - a = 0 => a = 7 (не подходит, потому что a≤-7)
либо
-7 - a =0 => a = -7.

ответ: a = -7.