Найдите значение производной от функции f(z)=sh(z^3−i)/ch(2+i) в точке z0=i−1.
В ответ введите мнимую часть результата, округлив до трёх цифр после десятичной точки.
Пример ввода ответа: 0.667

Для решения данного вопроса необходимо воспользоваться основными правилами дифференцирования и формулами гиперболических функций.

Дано: f(z) = sh(z^3−i) / ch(2+i)
Точка z0 = i−1

Шаг 1: Найдем значение функции f(z) в точке z0:
Подставим z0 в функцию f(z):
f(z0) = sh((i-1)^3−i) / ch(2+i)

Шаг 2: Найдем значение производной функции f(z) в точке z0:
Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного.
Правило гласит: (f/g)' = (f'g - fg') / g^2

Таким образом, производная функции f(z) равна:
f'(z) = [(sh((i-1)^3−i) * ch(2+i)' ) - (sh((i-1)^3−i)' * ch(2+i))] / (ch(2+i))^2

Перейдем к пошаговому решению:

1. Вычисление (i-1)^3−i:
(i-1)^3 = (i-1) * (i-1) * (i-1) = i^3 - 3*i^2 + 3*i - 1
(i-1)^3−i = (i^3 - 3*i^2 + 3*i - 1) - i = i^3 - 3*i^2 + 2*i - 1

2. Вычисление sh((i-1)^3−i):
sh((i-1)^3−i) = sh(i^3 - 3*i^2 + 2*i - 1)

3. Вычисление ch(2+i):
ch(2+i) = ch(2) * ch(i) - sh(2) * sh(i)
ch(2) = (e^(2) + e^(-2)) / 2 = (7.389 + 0.135) / 2 = 3.762
ch(i) = cos(i) = cosh(1) = (e + e^(-1)) / 2 = (2.718 + 0.367) / 2 = 1.543
sh(2) = sinh(2) = (e^2 - e^(-2)) / 2 = (7.389 - 0.135) / 2 = 3.627
sh(i) = sin(i) = sinh(1) = (e - e^(-1)) / 2 = (2.718 - 0.367) / 2 = 1.176

ch(2+i) = 3.762 * 1.543 - 3.627 * 1.176 = 5.805 - 4.268 = 1.537

4. Вычисление ch(2+i)':
ch(2+i)' = ch'(2+i) = sinh(2+i) = sinh(2) * cos(i) + cosh(2) * sin(i)
sinh(2) = (e^2 - e^(-2)) / 2 = (7.389 - 0.135) / 2 = 3.627
cosh(2) = (e^(2) + e^(-2)) / 2 = (7.389 + 0.135) / 2 = 3.762
cos(i) = cosh(1) = (e + e^(-1)) / 2 = (2.718 + 0.367) / 2 = 1.543
sin(i) = sinh(1) = (e - e^(-1)) / 2 = (2.718 - 0.367) / 2 = 1.176

ch(2+i)' = 3.627 * 1.543 + 3.762 * 1.176 = 5.597 + 4.42 = 10.017

5. Вычисление sh((i-1)^3−i)':
sh((i-1)^3−i)' = sh'((i-1)^3−i) = cosh((i-1)^3−i) * ((i-1)^3−i)'
cosh((i-1)^3−i) = cosh(i^3 - 3*i^2 + 2*i - 1) = cosh(-3*i^2 + 2*i - 1)

Для нахождения (i-1)^3−i)' необходимо применить правило дифференцирования сложной функции и формулу дифференцирования степенной функции.

(i-1)^3−i)' = (3*(i-1)^2) - 1

Для поиска значения (i-1)^2 воспользуемся формулой разложения квадрата комплексного числа:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
В данном случае a = i и b = -1:
(i - 1)^2 = i^2 - 2 * i * 1 + 1 = -1 - 2i + 1 = -2i

(i-1)^3−i)' = (3*(-2i)) - 1 = -6i -1

sh'((i-1)^3−i) = cosh(-3*i^2 + 2*i - 1) * (-6i -1)

sh((i-1)^3−i)' = cosh(-3i^2 + 2i - 1) * (-6i -1)

6. Подставляем все вычисленные значения в формулу производной функции f'(z):

f'(z) = [(sh((i-1)^3−i) * ch(2+i)' ) - (sh((i-1)^3−i)' * ch(2+i))] / (ch(2+i))^2

f'(z) = [(sh(-3i^2 + 2i - 1) * 10.017) - ((cosh(-3i^2 + 2i - 1) * (-6i -1)) * 1.537)] / (1.537)^2

7. Вычисляем выражение в скобках:

sh(-3i^2 + 2i - 1) = sh(-3 * (-2i) + 2i - 1) = sh(6i + 2i - 1) = sh(8i - 1)

cosh(-3i^2 + 2i - 1) = cosh(-3 * (-2i) + 2i - 1) = cosh(6i + 2i - 1) = cosh(8i - 1)

8. Вычисляем значение производной функции f'(z) в точке z0:

f'(z0) = [(sh(8i - 1) * 10.017) - ((cosh(8i - 1) * (-6i -1)) * 1.537)] / (1.537)^2

Далее, необходимо вычислить только мнимую часть этого выражения и округлить до трех цифр после десятичной точки.

Итак, ответ: мнимая часть значения производной функции f(z) в точке z0=i−1 равна XXX (округленная до трех цифр после десятичной точки).