Найдите все значения параметра b при которых система имеет единственное решение

При этих значениях b₁=0, b₂=-2 система неравенств имеет единственное решение.

Пошаговое объяснение:

Соберем полный квадрат из первого уравнения

(8x²-16xb)+8y²+16yb+15b²-48y-50b+72=0

8(x²-2xb+b²)-8b²+8y²+16yb+15b²-48y-50b+72=0

Приводим подобные по b².

8(x-b)²+8y²+16yb+7b²-48y-50b+72=0

Собираем новый квадрат

8(x-b)²+8(y²+2yb-6у)+7b²-50b+72=0

8(x-b)²+8(y+(b-3))²-8(b-3)²+7b²-50b+72=0

8(x-b)²+8(y+(b-3))²-8b²+48b-72+7b²-50b+72=0

8(x-b)²+8(y+(b-3))²-b²-2b=0

8(x-b)²+8(y+(b-3))²=b²+2b (*)

Если правая часть равна нулю, то слева скобки каждая по отдельности должны быть равны 0.

Правая часть равна нулю, когда b²+2b=0

b(b+2)=0

b₁=0, b₂=-2.

1) Если b₁=0, то (*) принимает вид

8x²+8(y-3)²=0

Это возможно, когда х=0 и у=-3.

Если подставить х=0 в первое неравенство системы, то получим

(0-1)(0+2)≤0

-1*2≤0

-2≤0 - выполняется. То есть при b₁=0 система имеет единственное решение.

2) Если b₂=-2, то (*) принимает вид

8(x+2)²+8(y-5)²=0

При х=-2 и у=5 будет единственное решение данного уравнения.

Подставим  х=-2 в первое уравнение системы

(-2-1)(-2+2)≤0

-3*0≤0

0≤0 - выполняется. То есть при b₂=-2 система имеет единственное решение.