Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 121^х + (3а^2-а+4) * 11^х - 5а -2=0 имеет единственный корень

Рассмотрим функцию . Тогда исходное уравнение имеет вид: .

Заметим, что любой положительный корень уравнения однозначно определяет корень уравнения (это верно в силу того, что уравнение (относительно ) имеет ровно одно решение, так как показательная функция монотонно возрастает на своей области определения). Тогда переформулируем задачу.

При каких значениях параметра , уравнение имеет ровно один положительный корень?

График представляет собой параболу с ветвями вверх.

Исследуем местоположение ее вершины.

.

Заметим, что при любом значении параметра , (это следует из отрицательности дискриминанта). Это говорит о том, что либо у нас вообще нет корней (вершина находится выше оси абсцисс), либо у нас таки есть корень, но он обязательно будет отрицательным.

Для того чтобы мы имели положительный корень, необходимо и достаточно потребовать следующее условие: .

Тогда имеем .

ответ: .