Найдите все значения а, при которых система уравнений имеет ровно три различных решения.

Рассмотрим первое уравнение.

(x + 3)² - 1 = |y - 2|.

x² + 6x + 9 - 1 = |y - 2|.

x² + 6x + 8 = |y - 2|. Рассмотрим квадратный трёхчлен.

x² + 6x + 8 = 0,    D = 36 - 32 = 4. x1 (-6 - 2)/2 = -4, x2 = (-6 + 2)/2 = -2.

Трёхчлен можно разложить на множители: x² + 6x + 8 = (х + 2)(х + 4).

Первое уравнение преобразовано так:  (х + 2)(х + 4) = |y - 2|.

Отсюда видно, что эта функция имеет 2 критических значения при х = -2 и х = -4, при которых у = 2.

График этой функции представляет собой две параболы ветвями вверх и вниз, соединённые на уровне у = 2 в двух точках.

Второе уравнение представляет собой уравнение окружности с радиусом, зависящим от параметра а.

Центр окружности находится на прямой у = 2.

Значит, имеем 2 случая, когда окружность проходит через точки х = -2 и х = -4, дважды пересекая график первого уравнения.

Подставим значения х = -2 и х = -4 во второе уравнение при у = 2.

25 = a² - 4a + 13,

a² - 4a - 12 = 0. D = 16 + 48 = 64, √D = ±8.

a1 = (4 - 8)/2 = -2, a2 = (4 + 8)/2 = 6.

49 = a² - 4a + 13,

a² - 4a - 36 = 0. D = 16 + 144 = 160, √D = ±4√10.

a3 = (4 - 4√10)/2 = 2 - 2√10, a4 = (4 + 4√10)/2 = 2 + 2√10.

ответ: a = -2,

           a = 6,

          a = 2 - 2√10,

          a = 2 + 2√10.