Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

√(3x^2 +2ax+1)=х^2 +ax+1

имеет ровно три различных корня.

Подскажите решение. Если не трудно, максимально подробное. Заранее больше за

romababiy09 romababiy09    1   04.04.2020 23:47    23

Ответы
1234Носок 1234Носок  12.10.2020 14:40

\sqrt{3x^2+2ax+1}=x^{2}+ax+1 \Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}+ax)+x^{2}+1}=x^{2}+ax+1; Для удобства сделаем замену: x^{2}+ax=u,\; x^{2}+1=v, тогда: \sqrt{2u+v}=u+1; Условие: u+1\geq 0 \Leftrightarrow u\geq -1 ; Возведем обе части в квадрат: 2u+v=u^{2}+2u+1\Leftrightarrow v=u^{2}+1; Вернемся обратно к замене: x^{2}+1=(x^{2}+ax)^{2}+1 \Leftrightarrow (-x^{2}+x-ax)(x^{2}+x+ax)=0; Условие перепишется в виде x^{2}+ax\geq -1; Мы получили уравнение x^{2}(-x+1-a)(x+1+a)=0; Его корни: x=0,\; x=1-a,\; x=-1-a; Их всего три. Значит, раз мы хотим три корня, то все они должны подходить. Для этого:

Они должны быть различными;Они должны удовлетворять условию.

Для различности достаточно, чтобы a\neq \pm 1;

Для условия (корень x=0 подходит): \left \{ {{(1-a)^{2}+a(1-a)\geq -1} \atop {(1+a)^{2}-a(1+a)\geq -1 }} \right.; Решая эту систему, получаем: a\in[-2,\;2];

Запишем ответ: a\in[-2,\;-1)\cup(-1,\;1)\cup(1,\;2]

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика