Найдите все натуральные n, при которых n! +57– квадрат натурального числа

При n ≥ 5, число n! будет оканчиваться на 0. Следовательно, при n ≥ 5, число n! + 57 будет оканчиваться на 7. А квадраты натуральных чисел могут оканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Значит n < 5. Положим n = 4. Тогда 4! + 57 = 24 + 57 = 81 = 9^2. Следовательно n = 4 нам подходит. При n = 3, 3! +57 = 6 + 57 = 63, при n = 2, 2! +57 = 2 + 57 = 59 и при n = 1, 1! + 57 = 1 + 57 = 58 решений нет.

ответ: n = 4.