Найдите точки экстремума функции: 1. f(x)=x^2−4x; 2. f(x)=4−x^2−x.

1.

f(x) = x² - 4x

1) Находим производную:

f'(x) = 2x - 4

2) Приравниваем её нулю:

2x - 4 = 0

x = 2

3)

при x < 2, f'(x) < 0, f(x) - убывает

при x > 2, f'(x) > 0, f(x) - возрастает

Значит в точке x = 2 имеем минимум, причём y = -4

Другими словами: x = 2 - точка минимума.

2.

f(x) = 4 - x² - x

f'(x) = -2x - 1

-2x - 1 = 0

2x = -1

x = -0,5

при x < -0,5, f'(x) > 0, f(x) - возрастает

при x > -0,5, f'(x) < 0, f(x) - убывает

Значит в точке x = -0,5 имеем максимум, причём y = 4 - 0,25 + 0,5 = 4,25

Другими словами: x = -0,5 - точка максимума.

Примечание:

Так как исследуемые функции являются квадратичными, то можно было ограничиться поиском координат вершины параболы. В 1-м случае ветви параболы направлены вверх, а значит у нас минимум, во 2-м случае ветви параболы направлены вниз, а значит у нас максимум.

Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox.

1. Дана функция f(x) = x²−4·x.

Находим производную

f '(x) = (x²−4·x)' = 2·x−4.

Приравниваем производную к нулю и определим стационарные точки:

f '(x) = 0 ⇔ 2·x−4 =0 ⇔ x = 2.

Если x < 2, то f '(x) = 2·x−4 < 0 - функция убывает, а если x > 2, то

f '(x) = 2·x−4 > 0 - функция возрастает.

Значит, x = 2 - точка минимума.

2. Дана функция f(x) = 4−x²−x.

Находим производную

f '(x) = (4−x²−x)' = −2·x−1.

Приравниваем производную к нулю и определим стационарные точки:

f '(x) = 0 ⇔ −2·x−1 =0 ⇔ x = −0,5.

Если x < −0,5, то f '(x) = −2·x−1 > 0 - функция возрастает, а если x > −0,5, то f '(x) = −2·x−1 < 0 - функция убывает.

Значит, x = −0,5 - точка максимума.