Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса 6.

olgaolgahelga olgaolgahelga    2   01.08.2022 09:08    2

Ответы
interpol7772 interpol7772  01.08.2022 09:09

\sqrt{6}

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим осевое сечение. Пусть радиус окружности основания цилиндра равен x, тогда AD = 2x. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ADCCD = h = \sqrt {{6^2} - {{(2x)}^2}} = 2\sqrt {9 - {x^2}}.

Объем цилиндра V = Sh = 2\pi {x^2}\sqrt {9 - {x^2}} .

Найдем производную V(x) = u(x)v(x), V'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x), где u(x) = 2\pi {x^2}, v(x) = \sqrt {9 - {x^2}} ,v — сложная функция:

V' = 4\pi x\sqrt {9 - {x^2}} + 2\pi {x^2} \cdot \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {9 - {x^2}} }} = 4\pi x\sqrt {9 - {x^2}} - 2\pi {x^3} \cdot \frac{1}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \frac{{6\pi x(6 - {x^2})}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}.

Найдем максимум этой функции. Нули производной — числа 0 и  \pm \sqrt 6 . С метода интервалов видим, что функция возрастает от 0 до \sqrt 6  и убывает после \sqrt 6 , таким образом x = \sqrt 6  — точка ее максимума.


Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса 6.
Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса 6.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика