Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых: y=1/3x^3-4x

Хорошо, давайте начнем с поиска промежутков выпуклости для кривой y=1/3x^3-4x.

1. Прежде всего, нам нужно вычислить вторую производную этой функции. Это позволит нам определить знак второй производной в различных интервалах функции. Если вторая производная положительна, то кривая выпуклая вверх, если отрицательна - то выпуклая вниз.

Для этого возьмем первую производную, а затем продифференцируем ее еще раз:

y' = d/dx(1/3x^3-4x) = x^2 - 4
y'' = d/dx(x^2 - 4) = 2x

2. Теперь мы можем найти точки перегиба, что являются значениями x, при которых кривая меняет направление выпуклости. Для этого устанавливаем вторую производную равной нулю и находим значения x:

2x = 0
x = 0

Значит, у нас есть одна точка перегиба при x = 0.

3. Теперь мы можем провести тестирование знака второй производной в различных интервалах. Выставляя значения x на числовой оси, мы проверяем знак второй производной в этих точках:

- Промежуток x < 0:
Заменяем x на отрицательное число, например, -1:
2*(-1) = -2
Знак отрицательный. Это означает, что кривая выпукла вниз в этом промежутке.

- Промежуток 0 < x:
Заменяем x на положительное число, например, 1:
2*(1) = 2
Знак положительный. Это означает, что кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Итак, промежутки выпуклости для данной кривой:
- Бесконечно малая окрестность точки перегиба x = 0 справа: кривая выпукла вверх.
- Бесконечно малая окрестность точки перегиба x = 0 слева: кривая выпукла вниз.

Надеюсь, эта информация понятна и полезна для тебя. Если возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!