Найдите промежутки монотонности функции y=-1/3x^3+1/2x^2+1

Находим производную и приравниваем к нулю.
у'=-х^2+x=0  
Находим критические точки
х*(1-x)=0  x1=0  x2=1
Разбиваем область определения критическими точками на интервалы
(§ - знак бесконечности)
(-§; 0], [0; 1]; [1; +§)
Определяем знак производной на каждом промежутке
у(-1)=-2<0   y↓  функция убывает
y(1/2)=1/4>0 y↑ функция возрастает
y(2)=-2<0 y↓ функция убывает.