Найдите приближённо изменение функции z=y^4+4y√(x+3) при изменении x от −2 до −2,05 и изменении y от 2 до 2,01 (используйте приближенное равенство Δz≈dz)

Варианты ответа

Δz≈0,16

Δz≈0,34

Δz≈0,56

Δz≈−0,16

Для решения данной задачи мы должны найти изменение функции z между двумя точками (-2, 2) и (-2.05, 2.01), используя приближенное равенство Δz ≈ dz.

1. Вычисляем значение функции z для начальной точки (-2, 2):
z = y^4 + 4y√(x+3)
= 2^4 + 4 * 2 * √(-2+3)
= 16 + 8
= 24

2. Вычисляем значение производной функции z по x для начальной точки (-2, 2):
dz/dx = (∂z/∂x)d(x+3)/dx = 4y√(x+3)

Здесь мы заметим, что производную можно записать в виде: dz/dx = 4y√(x+3) = 4(2)√(-2+3) = 8

3. Вычисляем значение производной функции z по y для начальной точки (-2, 2):
dz/dy = (∂z/∂y)d(y^4)/dy + (∂z/∂y)d(4y√(x+3))/dy
= 4y^3 + 4√(x+3)
= 4(2)^3 + 4√(-2+3)
= 4(8)+4
= 36

4. Вычисляем изменение функции z в переменной x:
Δz = dz/dx * Δx
= (8) * (-2.05 - (-2))
= 8 * (-0.05)
= -0.4

5. Вычисляем изменение функции z в переменной y:
Δz = dz/dy * Δy
= (36) * (2.01 - 2)
= 36 * 0.01
= 0.36

6. Получаем общее изменение функции z:
Δz = Δz_x + Δz_y
= -0.4 + 0.36
= -0.04

Таким образом, изменение функции z при изменении x от -2 до -2.05 и изменении y от 2 до 2.01 составляет приблизительно -0.04.