Математика: найдите предел последовательности lim и

Пошаговое объяснение:. Докажем это.По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что .Заметим, что для всякого натурального n. Тогда, если , или (решая неравенство относительно n) , то, взяв в качестве N целую часть числа , получим, что . Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа ), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство . А это и значит, что...

найдите предел последовательности lim $\frac{15}{n^{3}+1 }$ и $a_{n}=\frac{n+1}{n-1}$

Ответы

lianagabrielya 26.12.2020 16:39

Пошаговое объяснение:

$\lim_{n \to \infty} \frac{15}{n^3+1}=0$ . Докажем это.

По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что $| \frac{15}{n^3+1}-0|< \varepsilon$ .

Заметим, что $| \frac{15}{n^3+1}|< \frac{15}{n^3}$ для всякого натурального n. Тогда, если $\frac{15}{n^3}< \varepsilon$ , или (решая неравенство относительно n) $n \sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}$ , то, взяв в качестве N целую часть числа $\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}$ , получим, что $| \frac{15}{n^3+1}|< \frac{15}{n^3} < \varepsilon$ . Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа $\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}$ ), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство $| \frac{15}{n^3+1}-0|< \varepsilon$ . А это и значит, что предел равен нулю.

Интуитивно это можно объяснить так: увеличивая номер n, получаем все меньшее и меньшее число, причем оно всегда больше нуля, но его можно сделать очень маленьким.

Аналогично, докажем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n-1}=1$

По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что $| \frac{n+1}{n-1}-1|< \varepsilon$ .

Заметим, что $|\frac{n+1}{n-1}-1|=|\frac{n+1-(n-1)}{n-1}|=|\frac{2}{n-1}|$ . Тогда, если $|\frac{2}{n-1}|< \varepsilon$ , или (решая неравенство относительно n) $n \frac{2}{\varepsilon}+1$ , то, взяв в качестве N целую часть числа $\frac{2}{\varepsilon}+1$ , получим, что $| \frac{n+1}{n-1}-1|< \varepsilon$ . Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа $\frac{2}{\varepsilon}+1$ ), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство $| \frac{n+1}{n-1}-1|< \varepsilon$ . А это и значит, что предел равен единице.