Найдите последнюю цифру выражения: 6 в степени n, 9 в степени n, 3 в степени n, 8 в степени n, 2 в степени n, если n = 9, 17, 1001. считать не нужно, нужно только найти последнюю цифру и всё! и , , с объяснениями!

Подать заявку Личный кабинет
Главная
Положение о фестивале и конкурсах
Поиск по сайту
Разделы

Конкурс «Презентация к уроку»
Конкурс по экологии «Земля – наш общий дом»
Конкурс «Электронный учебник на уроке»
Конкурс региональной истории России

Астрономия
Биология
Начальная школа
География
Иностранные языки
Информатика
История и обществознание
Краеведение
Литература
Математика
Музыка
МХК и ИЗО
ОБЖ
ОРКСЭ
Русский язык
Спорт в школе и здоровье детей
Технология
Физика
Химия
Экология
Экономика

Администрирование школы
Видеоурок
Внеклассная работа
Дополнительное образование
Инклюзивное образование
Классное руководство
Коррекционная педагогика
Логопедия
Мастер-класс
Общепедагогические технологии
Организация школьной библиотеки
Патриотическое воспитание
Работа с дошкольниками
Работа с родителями
Социальная педагогика
Урок с использованием электронного учебника
Школьная психологическая служба
Исследовательская работа "Ключ к угадыванию цифры"
Иванова Валентина Ивановна, учитель математики
Разделы: Математика

Математика_.png
Основная часть

I. Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:

а) , , , , ;

б) , .

Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями

Например, = *** или

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше определили искомую цифру как последнюю цифру числа . Получили 1. Во втором случае сначала нашли последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1. Второй нам понравился больше. Аналогично нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли решения.

= * * * * или
9 9 9 9 3 1 3
3
1 3 3
3
Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный, универсальный нахождения последней цифры степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во - второй строке - цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 4 9 6 5 6 9 4 1 0
1 8 7 4 5 6 3 2 9 0
1 6 1 6 5 6 1 6 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 4 9 6 5 6 9 4 1 0
Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы мы пришли к выводу, что:

Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.