Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+7x, y=0

Добрый день! Рад быть вашим виртуальным учителем и помочь вам с решением этой задачи.

Для начала, давайте визуализируем фигуру, чтобы иметь представление о том, что мы ищем. Из уравнений видно, что нас интересует область, ограниченная графиком функции y=-x^2+7x и осью x (линией y=0).

Для этого построим график функции y=-x^2+7x.

1. Начнем с определения точек пересечения с осью x.

Когда функция равна нулю?
y=-x^2+7x=0.

Для того чтобы решить это уравнение, вынесем "x" за скобку и получим:
x(-x+7) = 0.

Теперь у нас есть два случая:
1) Если x = 0, то уравнение x(-x+7) = 0 выполняется.
2) Если -x+7 = 0, то также выполняется. Умножим обе части на -1:
x-7 = 0, отсюда x = 7.

Получаем, что у нас есть две точки пересечения с осью x: (0, 0) и (7, 0).

2. Теперь построим график функции y=-x^2+7x с использованием найденных точек.

- Для x = 0, y = 0*(-1)^2+7*0 = 0+0 = 0, получаем точку (0, 0).
- Для x = 7, y = -7^2+7*7 = -49+49 = 0, получаем точку (7, 0).

Таким образом, линия y=-x^2+7x пересекает ось x в точках (0, 0) и (7, 0).

3. Теперь важно понять, какая часть фигуры находится выше оси x и какая - ниже.

Функция y=-x^2+7x является параболой, которая направлена вниз. Это означает, что все точки, расположенные над параболой, будут иметь положительные значения y, а все точки ниже параболы будут иметь отрицательные значения y.

Для завершения нашего решения найдем точку пересечения параболы с осью y, то есть значение y, когда x = 0:

y = 0*(-1)^2+7*0 = 0+0 = 0.

Таким образом, парабола также пересекает ось y в точке (0, 0).

4. Найдем площадь фигуры, ограниченной линией y=-x^2+7x и осью x.

Мы видим, что фигура находится выше оси x и ограничена параболой снизу и осью x сверху.

Для нахождения площади этой фигуры, мы можем использовать интегральный метод. Обозначим A как начальную точку по оси x (A = 0), а B - конечную точку по оси x (B = 7). Затем найдем интеграл функции y=-x^2+7x от точки A до точки B:

∫[A,B](-x^2+7x)dx.

Вычислим данный интеграл:

∫[0,7](-x^2+7x)dx = [-x^3/3+7x^2/2]_0^7.

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

[-(7)^3/3+7(7)^2/2] - [-(0)^3/3+7(0)^2/2] = [-343/3+343/2] - [0] = -343/3+343/2.

Упростим:

-343/3+343/2 = (-686+1029)/6 = 343/6.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+7x, y=0 и осью x, равна 343/6.

Поздравляю! Мы успешно нашли площадь данной фигуры, используя подробные пошаговые шаги. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!