найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=2,5+2x-0,5x^2, x=-1 и касательной к данной пораболе проведенной через ее точку с абциссой x=3​

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Сначала нам нужно найти точку пересечения графика функции y = 2,5+2x-0,5x^2 и вертикальной линии x = -1.
Подставляем x = -1 в уравнение и находим значение y:
y = 2,5+2(-1)-0,5(-1)^2
y = 2,5 - 2 + 0,5
y = 1

Таким образом, точка пересечения равна (-1, 1).

2. Теперь нужно найти уравнение касательной линии к данной параболе через точку пересечения с абсциссой x = 3.
Для этого вычислим производную функции y = 2,5+2x-0,5x^2:
y' = 2 - x

Подставляем x = 3 и находим значение производной:
y' = 2 - 3
y' = -1

Таким образом, угловой коэффициент касательной линии равен -1.

3. Зная угловой коэффициент и точку точку пересечения с абсциссой x = 3, мы можем записать уравнение касательной линии в виде y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки пересечения x = 3:
y - 1 = -1(x - 3)
y - 1 = -x + 3
y = -x + 4

4. Наша задача - найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2,5+2x-0,5x^2, прямой x = -1 и касательной линией y = -x + 4.

5. Построим график функции и проведем все необходимые линии:


Как видно из графика, парабола и прямая x = -1 пересекаются только в одной точке (-1, 1). Касательная линия y = -x + 4 также проходит через эту точку.

6. Найдем точки пересечения параболы и касательной линии, чтобы определить границы фигуры, ограниченной этими линиями. Для этого решим систему уравнений:
2,5+2x-0,5x^2 = -x + 4

Перегруппируем уравнение:
0,5x^2 + 3x + 1,5 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя метод дискриминанта или факторизацию.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4*0,5*1,5 = 9 - 3 = 6

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня.

x = (-b ± √D) / (2a)
x = (-3 ± √6) / 1
x1 ≈ -0,12
x2 ≈ -5,88

Таким образом, фигура ограничена параболой в интервале приблизительно от x ≈ -0,12 до x ≈ -5,88.

7. Вычислим площадь фигуры, используя определенные границы и знание функций, ограничивающих фигуру.

Площадь фигуры = ∫(f(x) - g(x))dx, где f(x) - верхняя функция (парабола), g(x) - нижняя функция (прямая).

Интегрируем функции по границам от x ≈ -0,12 до x ≈ -5,88:
∫(2,5+2x-0,5x^2 - (-x + 4))dx
∫(2,5+2x-0,5x^2 + x - 4)dx
∫(-0,5x^2 +3x - 1,5)dx

Вычисляем интеграл по каждой части:
-0,5 * ∫x^2 dx + 3 * ∫x dx - 1,5 * ∫1 dx
-0,5 * (x^3/3) + 3 * (x^2/2) - 1,5 * (x) + C

Подставляем границы и вычисляем значения интеграла:
[-0,5 * (x^3/3) + 3 * (x^2/2) - 1,5 * (x)] | от x ≈ -0,12 до x ≈ -5,88
≈ 16,84

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2,5+2x-0,5x^2, прямой x = -1 и касательной линией y = -x + 4, примерно равна 16,84 квадратным единицам.

Надеюсь, это подробное решение помогло понять задачу. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.