Найдите первообразную F(x) функции f(x) = e^x-2 + 4x, если график первообразной проходит через точку M(2; -10)

Хорошо, давайте решим задачу.

Для начала, чтобы найти первообразную F(x) функции f(x), нужно произвести обратную операцию к дифференцированию, которое является нахождением производной функции.

Известно, что производной экспоненциальной функции e^x является сама функция e^x. А также, производной многочлена 4x является число 4.

Теперь, чтобы найти первообразную F(x) функции f(x) = e^x-2 + 4x, мы будем интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

Интеграл от функции e^x-2 по переменной x равен интегралу от e^x по переменной x минус интеграл от 2 по переменной x. По правилу интегрирования экспоненциальной функции, интеграл от e^x по переменной x равен e^x. Интеграл от константы по переменной x равен константе, умноженной на переменную x. Таким образом, первый интеграл равен e^x - 2x.

Интеграл от функции 4x по переменной x равен 4 * интеграл от x по переменной x. Интеграл от x по переменной x равен (1/2) * x^2. Поэтому, второй интеграл равен 4 * (1/2) * x^2, что равно 2x^2.

Таким образом, первообразная F(x) функции f(x) = e^x-2 + 4x равна сумме первообразных интегралов каждого слагаемого: F(x) = e^x - 2x + 2x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Далее, нам дано, что график первообразной проходит через точку M(2; -10). Чтобы найти значение постоянной C, мы можем подставить значения координат точки M в уравнение F(x).

Имеем -10 = e^2 - 2 * 2 + 2 * 2^2 + C.

Теперь решим это уравнение относительно C.

-10 = e^2 - 4 + 2 * 4 + C.

-10 = e^2 + 4 + C.

-10 - 4 - e^2 = C.

C = -14 - e^2.

Таким образом, первообразная F(x) функции f(x) = e^x-2 + 4x, проходящая через точку M(2; -10), равна F(x) = e^x - 2x + 2x^2 - 14 - e^2.