Найдите наименьшее значение функции y= (x-10)^2(x+10)-7 на отрезке [8; 18]

(x-10)^2(x+10)-7=(x^2-100)*(x-10)-7

y'=(x^2-100)+(x-10)2x=(x-10)(3x+10)

x1=10

x2=-10/3

при переходе через x1- производня менят знак с - на +, следовательно это точка минимума.

y(10)=-7

 y(8)=(64-100)(8-10)-7=-36*(-2)-7>-7

y(18)=(18^2-100)*8-7>-7

точка х=8 является точкой минимума

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка [8; 18].
Для этого подставим x=8 и x=18 в выражение функции:
y(8) = (8-10)^2(8+10)-7 = (-2)^2(18)-7 = 4*18-7 = 72-7 = 65
y(18) = (18-10)^2(18+10)-7 = 8^2(28)-7 = 64*28-7 = 1792-7 = 1785

Шаг 2: Найдем критические точки функции, которые могут принимать наименьшее или наибольшее значение.
Критические точки - это значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Для этого, найдем производную функции y(x):
y'(x) = 2(x-10)(x+10) + (x-10)^2

Шаг 3: Решим уравнение y'(x) = 0, чтобы найти критические точки.
2(x-10)(x+10) + (x-10)^2 = 0

Раскроем скобки:
2(x^2 - 100) + (x^2 - 20x + 100) = 0

Упростим выражение:
2x^2 + 200 - 2x^2 - 40x + 200 = 0

Сократим подобные слагаемые:
-40x + 400 = 0

Перенесем 400 на другую сторону:
-40x = -400

Разделим обе части уравнения на -40:
x = 10

Таким образом, критическая точка x = 10.

Шаг 4: Подставим найденную критическую точку, а также значения функции на концах отрезка в исходное выражение функции и выберем минимальное значение.
y(8) = 65
y(10) = (10-10)^2(10+10)-7 = 0^2(20)-7 = 0-7 = -7
y(18) = 1785

Итак, мы получили три значения функции на отрезке [8; 18]: 65, -7, 1785.

Наименьшее значение функции равно -7.