Найдите наименьшее значение функции f(x) =x^3+5x^2+7x-4 на отрезке [-2; 0]

Находим производную, приравниваем её к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.

На промежутках находим знаки производной

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Производная равна: y' = 3x^2+10x+7.

Приравниваем её нулю:

3x^2+10x+7 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=10^2-4*3*7=100-4*3*7=100-12*7=100-84=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√16-10)/(2*3)=(4-10)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6=-1;

x_2=(-√16-10)/(2*3)=(-4-10)/(2*3)=-14/(2*3)=-14/6 = -(7/3) ≈ -2.33333.

·       Минимум функции в точке: х = -1,

·       Максимум функции в точке: х = -7/3.