Найдите наименьшее расстояние между точками параболы y=x² и прямой y=2x-3. в ответе укажите квадрат этого расстояния десятичной дробью.

Парабола y=x² проходит выше прямой y=2x-3.

Вычтем первого уравнения второе и получим функцию зависимости расстояния по оси у между заданными линиями:

f(x) = x²-2x+3.

Найдём производную этой функции для определения экстремума.

f'(x) = 2x-2.

Приравняем нулю:

2х - 2 = 0.

х = 2/1 = 1.

Найдём знаки производной f'(x) = 2x-2.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.

Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точка минимума.

х =     0     1     2

y' =   -2     0     2.

Поэтому в точке х=1 имеем минимум функции.

Если по оси у расстояние между линиями минимально, то оно и по оси х будет тоже минимальным.

Находим вертикальное расстояние по разности ординат:

параболы у1 = 1² = 1,

прямой     у2 = 2*1-3 = -1.

Δу = 1-(-1) = 2.

Расстояние d по перпендикуляру к прямой равно:

d = Δy*cos α.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен 2 (по уравнению у = кх + в, где к это тангенс угла).

cos α = 1/√(1+tg²α) = 1/√(1+4) = 1/√5 = √5/5.

Отсюда получаем ответ:

d = 2*(√5/5) = 2√5/5 ≈ 0,894427.

Аналогичный ответ можно получить, если точку минимального расстояния от параболы до прямой найти с касательной, угловой коэффициент (и значение производной) которой равен 2 (как у заданной прямой).

Получаем 2х = 2, х = 1. Это точка с минимальным расстоянием до прямой 2х - 3.

Далее через точку х = 1 проводим нормаль к прямой и ищем точку пересечения. По разности координат находим длину перпендикуляра - то есть наименьшего расстояния.