Математика: Найдите наибольшее значение величины х+у, если

, то есть это круг (с границей), с центром в точке и радиусом . Среди точек этого множества требуется найти такие, для которых принимает наибольшее значение. Понятно также, что никакая точка внутренности не является искомой, поскольку ее можно сдвинуть на вектор для некоторого . Потому точки ищем на границе.Рассмотрим прямую . Требуется максимизировать , то есть увеличивать это значение до тех пор, пока эта прямая имеет пересечения с окружностью. Предельный случай -- касание. Имеем: , , откуда ....

Найдите наибольшее значение величины х+у, если $x^{2} +y^2\leq 2020x+2020y$

Ответы

Тер32 03.01.2022 16:30

$x^2+y^2\leq 2020x+2020y \Leftrightarrow (x- 1010)^2+(y-1010)^2\leq 2\cdot 1010^2$ , то есть это круг (с границей), с центром в точке (1010,1010) и радиусом $\sqrt{2}\cdot 1010$ . Среди точек этого множества требуется найти такие, для которых x+y принимает наибольшее значение. Понятно также, что никакая точка внутренности не является искомой, поскольку ее можно сдвинуть на вектор $(\varepsilon,\varepsilon)$ для некоторого $\varepsilon0$ . Потому точки ищем на границе.

Рассмотрим прямую x+y=a . Требуется максимизировать , то есть увеличивать это значение до тех пор, пока эта прямая имеет пересечения с окружностью. Предельный случай -- касание. Имеем: $y = \sqrt{r^2 - (x-1010)^2}+1010$ , $y' = -\dfrac{2(x-1010)}{2\sqrt{r^2-(x-1010)^2}} = -1 \Leftrightarrow x-1010 = \sqrt{r^2-(x-1010)^2}$ , откуда x=2020 . Тогда y=2020 и a = 4040 .