Найдите количество целочисленных решений уравнения || + || = 19

11+11=22

8+11=19

1

В принципе, тут всё устно находится: перебираем случаи z=9,8,...,1,0, и имеем сумму (5+6+...+10)+9+8+7+6=75.

Но можно посчитать и для более общего случая (такая задача возникает при подсчёте числа счастливых билетов). Уравнение x+y+z=k имеет f(k)=(k+2)(k+1)/2 решений в целых неотрицательных числах, что можно найти или через число сочетаний с повторениями из 3 по k, или как сумму чисел от 1 до k+1 для x=k,k-1,...,1,0. Если k<=9, то решений в десятичных цифрах столько же. При k>=10 появляются "лишние" решения, то есть такие, где x>=10 или y>=10 или z>=10. Если x>=10, то полагаем x'=x-10 и находим число решений для уравнения x'+y+z=k-10, которое находится по той же формуле, что и выше, с заменой k на k-10. Столько же "лишних" решений для случаев y>=10 и z>=10. При k<=19 неравенства не могут выполняться одновременно. Это даёт ответ f(k)-3f(k-10). При k=13 имеем f(13)-3f(3)=105-30=75