Найдите частные производные и полные дифференциалы функции z=5x y^4+2x^2y 7

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

Функция, которую нам нужно дифференцировать, это z = 5xy^4 + 2x^2y + 7.

Первый шаг: находим частную производную по x. Чтобы найти частную производную по x, мы будем считать, что все переменные, кроме x, являются постоянными.

Для этого возьмем первое слагаемое 5xy^4 и дифференцируем его по x. Так как у нас умножение, мы применим правило производной произведения:

d/dx (xy^4) = y^4 * (d/dx x) + x * (d/dx y^4).

Дифференцируя x по x, мы получаем единицу, и дифференцируя y^4 по x, получаем ноль, потому что y^4 не зависит от x.

Таким образом, первое слагаемое дает нам просто 5y^4.

Перейдем ко второму слагаемому 2x^2y. Мы дифференцируем его по x.

d/dx (2x^2y) = y * (d/dx (2x^2)) + 2x * (d/dx y).

Дифференцируя 2x^2 по x, получаем 4x. Дифференцируя y по x, получаем ноль, так как y не зависит от x.

Таким образом, второе слагаемое дает нам 4xy.

Теперь мы можем записать частную производную по x для функции z:

∂z/∂x = 5y^4 + 4xy.

Второй шаг: находим частную производную по y. Для этого весь процесс будет аналогичным первому шагу, только теперь мы будем считать, что все переменные, кроме y, являются постоянными.

Таким образом, первое слагаемое 5xy^4 дает нам 5x * (d/dy y^4) + y^4 * (d/dy x). Дифференцируя y^4 по y, получаем 4y^3, и дифференцируя x по y, получаем ноль, так как x не зависит от y.

Таким образом, первое слагаемое дает нам 20xy^3.

Второе слагаемое 2x^2y дает нам x^2 * (d/dy y) + 2xy * (d/dy x). Дифференцируя y по y, получаем единицу, и дифференцируя x по y, получаем ноль.

Таким образом, второе слагаемое дает нам x^2.

Итак, частная производная по y для функции z:

∂z/∂y = 20xy^3 + x^2.

Третий шаг: находим полный дифференциал функции z. Полный дифференциал можно найти, используя найденные частные производные и правила дифференцирования.

Полный дифференциал функции z:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.

Подставляя найденные значения частных производных, получим:

dz = (5y^4 + 4xy)dx + (20xy^3 + x^2)dy.

Таким образом, полный дифференциал функции z равен (5y^4 + 4xy)dx + (20xy^3 + x^2)dy.