Найди количество решений уравнения x1+x2+x3+x4=101

в натуральных числах x1, x2, x3, x4.

0

Если из каждого числа вычесть 2, перейдя к новым переменным, то получится уравнение вида y1+y2+y3+y4=29y1+y2+y3+y4=29, которое нужно решить в целых неотрицательных числах (здесь yi=xi−2≥0yi=xi−2≥0). Это стандартная комбинаторная задача, ответом к которой является число сочетаний с повторениями из 44 по 2929. Оно равно обычному числу сочетаний из 4+29−1=324+29−1=32 по 2929, то есть C2932=C332=4960C3229=C323=4960.

ссылка

отвечен 11 Май '14 13:52



falcao

255k●2●36●50

а если знак просто больше. xi > 2

Для решения данной задачи воспользуемся методом комбинаторики, а именно методом сочетаний с повторениями.

Уравнение, которое нам дано, имеет вид:
x1 + x2 + x3 + x4 = 101

Для решения такого уравнения, нужно найти количество способов разбить число 101 на 4 натуральных числа.

Для этого воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Представим число 101 в виде суммы:
101 = x1 + x2 + x3 + x4

2. Назначим для каждого x значение 0 и запустим цикл.

3. Увеличим x1 на 1 и вычитаем это значение из 101:
101 - x1 = x2 + x3 + x4

4. Теперь нам нужно найти все возможные натуральные значения для x2, x3 и x4. Для этого воспользуемся методом сочетаний с повторениями.

5. Получив возможные комбинации значений x2, x3 и x4, при каждом шаге будем вычислять значение x1 как разницу между 101 и суммой значений x2, x3 и x4.

6. Повторяем шаги 3-5 до тех пор, пока x1 не станет равным 101.

7. Подсчитываем количество всех возможных комбинаций.

Пошаговое решение:

Шаг 1: 101 = x1 + x2 + x3 + x4

Шаг 2: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0

Шаг 3: x1 = 1, 101 - 1 = 100 = x2 + x3 + x4

Шаг 4: Применяем метод сочетаний с повторениями для вычисления возможных значений x2, x3 и x4. Найдем сочетания для числа 100, когда можно выбирать из 3-х чисел:

C(100 + (3 - 1), (3 - 1)) = C(102, 2) = (102 * 101) / (2 * 1) = 5151

Шаг 5: Для каждой комбинации найденных значений x2, x3 и x4 находим значение x1, запишем все возможные комбинации:

x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 100
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 99
...
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 50, x4 = 50
x1 = 1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 99
...
x1 = 1, x2 = 49, x3 = 0, x4 = 50
...
x1 = 1, x2 = 50, x3 = 0, x4 = 49
...
x1 = 1, x2 = 99, x3 = 0, x4 = 0

Шаг 6: Увеличиваем x1 на 1 и повторяем шаги 3-5

Шаг 7: Подсчитываем общее количество всех возможных комбинаций:

5151 + C(101 + (3 - 1), (3 - 1)) = 5151 + C(103, 2) = 5151 + (103 * 102) / (2 * 1) = 5356

Ответ: Количество решений уравнения x1 + x2 + x3 + x4 = 101 в натуральных числах равно 5356.