Найди количество целых значений m, при которых значение выражения -4+m(2x+x^2) не больше 2 для любых действительных значений x. в ответе укажите только число, без пробелов и каких-либо препинаний.

ответ-------☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

Запишев условие в более красивом виде.

-4+m(x²+2x)≤2    Сразу же вырисовывается первое естественное решение -
                             m=0      Тогда    -4<2  независимо от      х
Поехали дальше.
m(x²+2x)≤6
распадается на две системы - при m>0   и   m<0

1)  m>0        x²+2x≤6/m        x²+2x-6/m≤0      получается неопределенное неравенство ( по крайней мере, я ничего не могу о нем сказать - неравенство с двумя , так сказать , переменными)

2)  m<0      Это уже интересней
 
                    x²+2x≥6/m
                    x²+2x-6/m≥0   как мы знаем, полный квадрат x²+2x+1≥0    для                                                    любых значений   х, значит, если мы возьмем,                                                      чтобы      -6/m≥1  в целых   m, то задача будет                                                      решена  Т.е. все целые значения от -6  до 1 -                                                        решения.
                                              
                                            берем с минимума
                                               m=-6       1=1
                                               m=-5       6/5>1
                                               m=-4       6/4>1
                                               m =-3       6/3>1
                                               m=-2         6/2>1
                                               m=-1         6/1>1
                             ну и , естественно, вначале было m=0
  Итого   7 решений.

 
                                            

Чтобы найти количество целых значений m, при которых значение выражения -4+m(2x+x^2) не больше 2 для любых действительных значений x, нужно рассмотреть все возможные значения m и проверить выполнение неравенства для каждого из них.

Для начала, заметим, что выражение -4+m(2x+x^2) можно упростить. Раскроем скобки:

-4 + 2mx + mx^2

Теперь разберемся с условием неравенства, т.е. выражением "-4+m(2x+x^2) не больше 2". Перепишем его в виде неравенства:

-4 + 2mx + mx^2 ≤ 2

Теперь приведем это неравенство к квадратному виду, т.е. расположим все члены по убыванию степеней переменной x:

mx^2 + 2mx - 6 ≤ 0

Данное неравенство является квадратным неравенством. Чтобы решить его, нужно найти его корни.

Решение квадратного уравнения mx^2 + 2mx - 6 = 0 можно найти с помощью формулы дискриминанта:

D = (2m)^2 - 4m(-6)
D = 4m^2 + 24m
D = 4m(m + 6)

Дискриминант равен нулю, если m = 0 или m = -6. Если дискриминант меньше нуля, то корни уравнения отсутствуют, что означает, что неравенство mx^2 + 2mx - 6 ≤ 0 не имеет решений.

Рассмотрим все возможные значения m:

1) Если m = 0, то уравнение принимает вид -4 - 6 ≤ 0, что не выполняется. Значит, при m = 0 условие неравенства не выполняется.

2) Если m = -6, то уравнение принимает вид -6x^2 - 12x - 6 ≤ 0. Заметим, что знак коэффициента при x^2 отрицательный, что означает, что график параболы направлен вниз. Так как коэффициент при x^2 -6 отрицателен, это означает, что парабола проходит ниже оси OX и будет иметь решение, т.е. для любых действительных значений x выполняется неравенство -6x^2 - 12x - 6 ≤ 0.

3) Рассмотрим другие значения m. При всех остальных значениях m дискриминант D будет больше нуля, что означает, что уравнение mx^2 + 2mx - 6 = 0 имеет два различных корня. Такие уравнения не могут удовлетворять условию "для любых действительных значений x", а значит, и неравенство mx^2 + 2mx - 6 ≤ 0 тоже не будет выполняться для всех x.

Итак, мы видим, что при m = -6 условие неравенства выполняется, а при всех остальных значениях m - не выполняется.

Ответ: количество целых значений m, при которых значение выражения -4+m(2x+x^2) не больше 2 для любых действительных значений x равно 1.