Найди экстремумы функции f(x)=4x3+5x2+2x+8.

Хорошо, давай разберемся с этим заданием.

Для начала, чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Эти значения x будут являться кандидатами на экстремумы.

Итак, давайте найдем производную функции f(x) = 4x^3 + 5x^2 + 2x + 8.

Для этого мы используем правило дифференцирования степенной функции, где для функции вида f(x) = ax^n производная равна f'(x) = n * ax^(n-1).

Применяя это правило к каждому члену функции f(x), получаем:
f'(x) = 12x^2 + 10x + 2.

Теперь, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю, мы должны решить уравнение f'(x) = 0.

Запишем это уравнение:
12x^2 + 10x + 2 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение. Обрати внимание, что здесь мы имеем дело с квадратным уравнением.

Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти его корни.

Для квадратного уравнения общего вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

Подставим значения коэффициентов из уравнения 12x^2 + 10x + 2 = 0:
D = (10)^2 - 4*12*2 = 100 - 96 = 4.

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта D = 4, мы можем найти корни уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня x1 и x2, которые можно найти по формулам:
x1 = (-b - √D) / (2a)
x2 = (-b + √D) / (2a).

Используя эти формулы, подставим значения коэффициентов из уравнения 12x^2 + 10x + 2 = 0:
x1 = (-10 - √4) / (2*12) = (-10 - 2) / 24 = -12 / 24 = -0.5
x2 = (-10 + √4) / (2*12) = (-10 + 2) / 24 = -8 / 24 = -1/3.

Теперь у нас есть два кандидата на экстремумы функции f(x) - это x1 = -0.5 и x2 = -1/3.

Чтобы убедиться, что это действительно экстремумы, мы можем выполнить вторую производную тестирование. Если вторая производная функции обратного знака на интервалах между кандидатами на экстремумы, то эти точки являются экстремумами.

Для нашей функции f(x) = 4x^3 + 5x^2 + 2x + 8, нам нужно найти значение второй производной функции.

Производная функции f'(x) = 12x^2 + 10x + 2 будет:
f''(x) = 24x + 10.

Теперь мы можем подставить значения x1 и x2 во вторую производную:
f''(-0.5) = 24*(-0.5) + 10 = -12 + 10 = -2.
f''(-1/3) = 24*(-1/3) + 10 = -8 + 10 = 2.

Здесь мы видим, что вторая производная меняет знак: f''(-0.5) < 0, а f''(-1/3) > 0.

Таким образом, у нас есть экстремумы функции f(x) = 4x^3 + 5x^2 + 2x + 8 при x = -0.5 и x = -1 / 3.

Теперь мы можем определить тип этих экстремумов - это либо минимумы, либо максимумы.

Для этого мы можем посмотреть на знак второй производной на каждом из этих экстремумов.

Если вторая производная отрицательная, то экстремум будет представлять собой максимум, а если вторая производная положительная, то экстремум будет представлять собой минимум.

Исходя из нашего решения, мы видим, что f''(-0.5) < 0, поэтому x = -0.5 будет являться максимумом, и f''(-1/3) > 0, поэтому x = -1/3 будет являться минимумом.

Итак, мы нашли два экстремума функции f(x) = 4x^3 + 5x^2 + 2x + 8:

1. Максимум при x = -0.5.
2. Минимум при x = -1/3.