Натуральные числа a,b,c таковы, что a = b+41 и ab+bc+ac = 3c^2. найдите c.

Ab + c(a+b) = 3c^2
3c^2 - (a+b)*c - ab = 0
Получили квадратное уравнение относительно с.
По теореме Виета
c1 + c2 = (a+b)/3 = (b+b+41)/3 = (2b+41)/3
c1*c2 = -ab/3 = -b(b+41)/3
Из 2 равенства получаем: или b делится на 3, или b+41 делится на 3.
Если b делится на 3, то из 1 равенства получаем:
2b делится на 3, тогда 41 тоже делится на 3, но это не так.
Значит, a = b+41 делится на 3. Пусть a = 3k
Теперь, из 2 начального уравнения
3k*b + bc + 3k*c = 3c^2
bc = 3c^2 - 3k*b - 3k*c = 3*(c^2 - kb - kc)
Так как b на 3 не делится, то c на 3 делится.

1) Запишем 2 уравнение в общем виде.
b(b+41) + c*b + c(b+41) = 3c^2
b^2 + 41b + cb + cb + 41c - 3c^2 = 0
b^2 + (2c+41)b + (41c-3c^2) = 0
2c+41 > 0 при любом натуральном с.
Ясно, что положительные корни появятся тогда, когда будет
41c - 3c^2 < 0, то есть 3c > 41. И при этом с делится на 3.
2) Возьмем 3c = 45, c = 15
b(b+41) + 15b + 15(b+41) = 3*15^2
b^2 + 41b + 15b + 15b + 615 - 675 = 0
b^2 + 71b - 60 = 0
D = 71^2 - 4(-60) = 5041 + 240 = 5281 - не квадрат, b не натуральное.
...
11) c=42. b(b+41) + 42b + 42(b+41) = 3*42^2
b^2 + 41b + 42b + 42b + 1722 - 5292 = 0
b^2 + 125b - 3570 = 0
D = 125^2+4*3570 = 15625+14280 = 29905 - не квадрат.
12) c=45. b(b+41) + 45b + 45(b+41) = 3*45^2
b^2 + 41b + 45b + 45b + 1845 - 6075 = 0
b^2 + 131b - 4230 = 0
D = 131^2+4*4230 = 17161+16920 = 34081 - не квадрат.

Мне тут Dimond228 подсказал, что при с = 210 получится
b(b+41) + 210b + 210(b+41) = 3*210^2
b^2 + 41b + 210b + 210b + 8610 - 132300 = 0
b^2 + 461b - 123690 = 0
D = 461^2 + 4*123690 = 212521 + 494760 = 707281 = 841^2
b = (-461 + 841)/2 = 190
a = b + 41 = 190 + 41 = 231
ответ: a = 231; b = 190; c = 210