Напишите , полностью все свойства функции y=tg x/2 в том числе монотонность, знакопостоянство, наибольшее и наименьшее у, нули функции и так далее

Функция y = tg(x/2) может быть представлена в виде отношения синуса и косинуса угла x/2. Давайте рассмотрим её свойства по порядку.

1. Определение области допустимых значений:
Функция tg(x/2) будет определена, если косинус угла x/2 не равен нулю. Так как косинус является функцией, определенной на всей числовой прямой, кроме некоторых значений, мы можем сказать, что функция y = tg(x/2) определена на всей числовой прямой, за исключением точек, в которых выполняется условие cos(x/2) = 0. Таким образом, функция определена на интервалах (-∞, -π), (-π, π), (π, 3π), и так далее.

2. Знакопостоянство:
Определим знак функции на каждом из интервалов. Воспользуемся представлением функции tg(x/2) в виде отношения синуса и косинуса: tg(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2). Видим, что sin(x/2) всегда является положительным, поскольку синус положителен на интервалах (0, 2π), (2π, 4π), и так далее. Теперь рассмотрим знак косинуса. Косинус положителен на интервалах (-2π, -π), (0, π), (2π, 3π), и так далее. Таким образом, функция y = tg(x/2) положительна на интервалах (-2π, -π), (0, π), (2π, 3π), и так далее. Она отрицательна на интервалах (-π, 0), (π, 2π), (3π, 4π), и так далее.

3. Монотонность:
Проверим, является ли функция y = tg(x/2) монотонной на каждом из интервалов, на которых она определена. Для этого возьмем производную функции tg(x/2) и проанализируем её знак. Производная функции tg(x/2) равна (1/2) / cos^2(x/2). Мы знаем, что косинус положителен на всех интервалах, на которых функция определена, поэтому производная всегда положительна. Это означает, что функция y = tg(x/2) монотонно возрастает на интервалах (-2π, -π), (0, π), (2π, 3π), и так далее, и монотонно убывает на интервалах (-π, 0), (π, 2π), (3π, 4π), и так далее.

4. Наибольшее и наименьшее значение функции:
Поскольку функция y = tg(x/2) определена на интервалах (-∞, -π), (-π, π), (π, 3π), и так далее, мы можем найти наибольшее и наименьшее значение функции на каждом из этих интервалов. Для этого необходимо проанализировать поведение функции в пределах каждого интервала и исследовать её пределы при x, стремящемся к бесконечности или отрицательной бесконечности. Создадим таблицу с наибольшим и наименьшим значением функции на каждом интервале:

Интервалы | y = tg(x/2)
--------------------------------
(-∞, -π) | -∞
(-π, π) | [наименьшее значение: -∞, наибольшее значение: +∞]
(π, 3π) | [наименьшее значение: -∞, наибольшее значение: +∞]
...

Как видно из таблицы, на интервале (-π, π) функция y = tg(x/2) принимает как наименьшее, так и наибольшее значение на бесконечности.

5. Нули функции:
Найдем значения угла x, при которых tg(x/2) равна нулю. Это происходит, когда sin(x/2) = 0. Следовательно, нули функции находятся в точках, где x/2 равно кратным π. То есть x = kπ, где k - целое число.

Вот таким образом можно описать основные свойства функции y = tg(x/2). Надеюсь, это будет понятно и полезно для школьника. Если будут еще вопросы, буду рад помочь!