Написать каноническое уравнение параболы, зная директрису D: y=4​

Хорошо, давайте разберем этот вопрос пошагово.

1. Начнем с определения параболы. Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и прямой D, называемой директрисой.

2. Вы уже дано уравнение директрисы: D: y = 4. Заметим, что данное уравнение имеет вид y = k, где k - постоянное значение. Это значит, что директриса D параллельна оси x.

3. Так как директриса параллельна оси x, фокус F будет находиться на оси y. Обозначим координаты фокуса F как (0, p), где p - неизвестное значение, которое нам нужно найти.

4. Теперь, вспомним определение параболы: каждая точка параболы равноудалена от фокуса F и директрисы D. Если выберем произвольную точку параболы (x, y), то ее расстояние от фокуса F равно ее расстоянию от директрисы D.

5. Расстояние между двумя параллельными линиями (в данном случае, между точкой (x, y) и линией y = 4) равно разности их координат по оси y. Таким образом, расстояние между (x, y) и d (директрисой D) будет |y - 4|.

6. Аналогично, расстояние между (x, y) и фокусом F (0, p) будет |y - p|.

7. Используя определение параболы, получаем уравнение |y - 4| = |y - p|.

8. Рассмотрим два случая: (i) y - 4 = y - p и (ii) y - 4 = -(y - p).

(i) Решим уравнение y - 4 = y - p.
Раскрыв скобки, получаем -4 = -p.
Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака, и получим 4 = p.

(ii) Решим уравнение y - 4 = -(y - p).
Раскрыв скобки и перенеся все переменные на одну сторону, получим y - 4 + y - p = 0.
Скомпонуем переменные с p и получим 2y - 4 - p = 0.

9. Мы получили два уравнения: 4 = p и 2y - 4 - p = 0. Это система уравнений, которую мы можем решить для нахождения значений p и y.

10. Подставим значение p = 4 из первого уравнения во второе:
2y - 4 - 4 = 0.
Упростим уравнение, получим:
2y - 8 = 0.
Разделим обе части на 2, чтобы найти значение y:
y - 4 = 0.
Прибавим 4 к обеим частям:
y = 4.

11. Таким образом, мы нашли значения p = 4 и y = 4.

12. Итак, каноническое уравнение параболы будет иметь вид (p; y) = (4; 4).