На заводе консервной продукции из партии в 11 000 банок взято на контроль качества 550 банок (случайный, бесповторный отбор), из них 20 оказались бракованными. Определите с вероятностью 0,997 возможный размер убытка от производства бракованной продукции, если известно, что прямые затраты на производство одной банки составляют 19,75 руб.
Предмет теория статистики

Для решения данной задачи нам понадобятся понятия биномиального распределения и доверительного интервала.

1. Биномиальное распределение:
Биномиальное распределение применяется в ситуациях, когда нам известно количество испытаний n, вероятность успеха p и мы хотим рассчитать вероятность получить k успешных исходов из n испытаний. В данной задаче у нас n = 550 (количество банок, взятых на контроль) и p = 20/550 (вероятность бракованных банок).

2. Доверительный интервал:
Доверительный интервал позволяет оценить неизвестный параметр популяции (в данном случае размер убытка от производства бракованной продукции) на основе выборочных данных. В данной задаче нам нужно найти доверительный интервал для параметра p с вероятностью 0.997.

Шаги решения задачи:
1. Рассчитаем значение вероятности p. Количество бракованных банок (k) равно 20, количество всех банок на контроле (n) равно 550. Тогда p = k / n = 20 / 550 = 0.0364.
2. Рассчитаем дисперсию биномиального распределения с помощью формулы: Var(X) = n * p * (1 - p), где X - случайная величина, представляющая количество бракованных банок. В данном случае n = 550 и p = 0.0364. Тогда Var(X) = 550 * 0.0364 * (1 - 0.0364) ≈ 20.0305.
3. Найдем стандартное отклонение биномиального распределения по формуле: StdDev(X) = sqrt(Var(X)), где StdDev(X) - стандартное отклонение случайной величины X. В нашем случае StdDev(X) = sqrt(20.0305) ≈ 4.48.
4. Найдем значение доверительного интервала для параметра p с помощью стандартного отклонения и нормального распределения. Для этого воспользуемся правилом трех сигм: 3 * StdDev(X) = 3 * 4.48 ≈ 13.44.
5. Доверительный интервал для параметра p будет иметь вид: [p - 3 * StdDev(X), p + 3 * StdDev(X)] = [0.0364 - 3 * 4.48, 0.0364 + 3 * 4.48] = [-12.88, 12.96].
6. Так как размер убытка не может быть отрицательным, возможный размер убытка от производства бракованной продукции с вероятностью 0.997 будет лежать в интервале [0, 12.96].
7. Для определения фактического размера убытка необходимо умножить вероятность получить бракованную продукцию на прямые затраты на производство одной банки. В данной задаче размер убытка будет вычисляться как 0.0364 * 19.75 ≈ 0.72 рубля.

Таким образом, с вероятностью 0.997 возможный размер убытка от производства бракованной продукции будет лежать в интервале [0, 12.96] и составит примерно 0.72 рубля.