На торжественной линейке самыми нарядными были 45 первоклассников. каждому первокласснику подарили поздравительную открытку, ручку и карандаш. сколько рублей ушло на покупку подарка для первоклассников и сколько стоит ручка, открытка и карандаш в отдельности, если известно: 1) за одну открытку, ручку, и девять карандашей заплатили 36 рублей; 2) две ручки стоят столько же, сколько одна открытка и четыре карандаша вместе взятые; 3) цена каждого предмета – число натуральное?

Обозначим:
О-открытка, Р-ручка, К- карандаш.
 О+Р+9К=36, допустим, что карандаш стоит 1 рубль,
О+Р=27(рублей)
Допустим, что карандаш стоит 2 рубля,
О+Р+9·2=36, О+Р=18(рублей)
Допустим, что карандаш стоит 3 рубля,
О+Р+9·3=36
О+Р=9 рублей
Допустить , что карандаш стоит 4 рубля невозможно, в таком случае карандаш и ручка достались нам бесплатно.
Запишем второе равенство.
2Р=О+4К, перепишем : 2Р-О=4К
Запишем 3 системы уравнений:
1. О+Р=27                   2. О+Р=18                3. О+Р=9
    2Р-О=4  при К=1         2Р-О=8 при К=2       2Р-О=12 при К=3
   3Р=31                           3Р=26                       3Р =21
из этих систем только последняя делится нацело. Ручка стоит 3 рубля.
Из третьей системы: О+Р=9, О=9-Р=6 рублей
К=3 рубля
Всего учеников 45: 45·(3+3+6)=45·12=540 (рублей)