На стройке работают 3 подъемных крана. Пусть Ai (i=1,2,3)
событие означающее, что i- ый кран работает. Выразить через Ai следующие события:
А - работает только один кран,
В - не работает ни один кран,
С - работает хотя бы один кран.
Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле
равна 0,75. Найти вероятность того, что при трех выстрелах стрелок попадет: а) не менее 2 раз,
б) ни одного раза,
в) хотя бы один раз.

Давайте разберемся сначала с выражением событий через Ai:

А - работает только один кран
А = (A1 * !A2 * !A3) + (!A1 * A2 * !A3) + (!A1 * !A2 * A3)

B - не работает ни один кран
B = !A1 * !A2 * !A3

C - работает хотя бы один кран
C = (A1 * !A2 * !A3) + (!A1 * A2 * !A3) + (!A1 * !A2 * A3) + (A1 * A2 * !A3) + (A1 * !A2 * A3) + (!A1 * A2 * A3) + (A1 * A2 * A3)

Теперь перейдем к вероятностям.

Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,75. Значит вероятность промаха равна 1 - 0,75 = 0,25.

Пусть событие H означает попадание стрелком, а событие M - промах.

а) Найти вероятность того, что при трех выстрелах стрелок попадет не менее 2 раз.

Нам нужно найти вероятность попадания 2 или 3 раза, поэтому мы должны посчитать сумму вероятностей событий, в которых стрелок попадает 2 раза и 3 раза.

P(HHМ) = 0,75 * 0,75 * 0,25 = 0,140625 - вероятность попадания 2 раза и промаху 1 разу.
P(HМН) = 0,75 * 0,25 * 0,75 = 0,140625 - вероятность попадания 1 раза и промаху 2 раза.
P(МНН) = 0,25 * 0,75 * 0,75 = 0,140625 - вероятность попадания 0 раз и промаху 3 раза.
P(HHH) = 0,75 * 0,75 * 0,75 = 0,421875 - вероятность попадания 3 раза.

Теперь сложим эти вероятности, чтобы получить общую вероятность попадания не менее 2 раз:

P(2 или 3 раза) = P(HHМ) + P(HМН) + P(МНН) + P(HHH) = 0,140625 + 0,140625 + 0,140625 + 0,421875 = 0,84375

Ответ: Вероятность попадания не менее 2 раз составляет 0,84375.

б) Найти вероятность того, что при трех выстрелах стрелок не попадет ни разу.

Так как вероятность попадания при одном выстреле равна 0,75, вероятность промаха равна 0,25. Поэтому, вероятность промаха на каждом выстреле равна 0,25.

P(МММ) = 0,25 * 0,25 * 0,25 = 0,015625 - вероятность промаха 3 раза.

Ответ: Вероятность того, что стрелок не попадет ни разу, составляет 0,015625.

в) Найти вероятность того, что при трех выстрелах стрелок попадет хотя бы один раз.

Чтобы найти эту вероятность, мы должны найти сумму вероятностей событий, в которых стрелок попадает 1, 2 или 3 раза.

P(H) = 0,75 - вероятность попадания 1 раза (остальные два выстрела - промахи).
P(2 или 3 раза) = 0,84375 - вероятность попадания 2 или 3 раза (мы уже посчитали ее в пункте а)).
P(Хотя бы один раз) = P(H) + P(2 или 3 раза) = 0,75 + 0,84375 = 1,59375

Ответ: Вероятность того, что стрелок попадет хотя бы один раз, составляет 1,59375.