На мат индукцию 1+2*2*2+3*3*3++n*n*n=n*n(n+1)*(n+1)\4

с начало  база индукций , ее  всегда нужно проверять,   просто подставим для начало   
n=3 =>  36 справа слева так же значит верно

теперь 1+2*2*2+3*3*3  итд можно представить ввиде 1^3+2^3+3^3...
как известно это сумма (1+2+3)^2  => то есть ее рекурентно можно записать ввиде  (n+n+1+n+2..)^2 
теперь  при к=1. наша база верна , теперь надо доказать при n=k+1 , то есть индуктивный переход.
n*n(n+1)(n+1)/4 =n^2(n+1)^2/4 

1+2^3+3^3+n^3 =n(n+1)^2/4 

n= k+1 
1+2^3+3^3+n^3...(n+1)^3 = n(n+1)^2/4 + (n+1)^3
слева =>(1+2+3+...n+(n+1))^2= можно представить ввиде арифм прогрессий с d=1
как известно формула такая 
Sn=2a1+d(n-1)/2 *n  =2+1(n-1)/2 *n =  2+n-1/2 * n    = n(n+1)/2
но у нас там квадрат , стало быть 
Sn^2=(n(n+1)/2)^2 = n^2(n+1)^2/4 
чтд