1. Математика
  2. На кривой найдите точку, расстояние

На кривой найдите точку, расстояние от которой до точки m(1; -1) будет наименьшим

beliaeva201 beliaeva201    1   22.05.2019 17:30    0

Ответы
avetisgrigoryan avetisgrigoryan  18.06.2020 06:38
Расстояние от точки до точки вычисляется по формуле 

\sqrt{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}

В данном случае пусть (x_1;\,y_1) - точка на параболе, а (x_2;\,y_2) сама точка М (1, -1).

Заметим, что так как первая точка лежит на параболе, то согласно уравнению параболы эта точка принимает вид (x;\,x-x^2)

Теперь заново запишем расстояние, исходя из вышесказанного

\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2-(-1))^2}=\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}

Чтобы это расстояние было наименьшим, надо взять от него производную и приравнять ее к нулю. Найти точки минимума - это и будет абсциссой параболы.   
(\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2})'=\frac{2(x-1)+2(x-x^2+1)*(1-2x)}{2\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}=

Сократим числитель и знаменатель на  2.

=\frac{(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)}{\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}

Теперь  приравняем к нулю числитель дроби. То есть фактически приравняем к нулю производную

(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0

Раскроем скобки

x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0

Заметим, что все свободные члены сокращаются

x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0 

Также сокращаются все члены при х.

-x^2-2x^2+2x^3=0

-3x^2+2x^3=0

x^2(-3+2x)=0

x_1=0

-3+2x_2=0

2x_2=3

x_2=1,5

Теперь найдем точку минимума. Сама производная, как видно, меняет знак вместе с многочленом в числителе -3x^2+2x^3. Обозначим ее за g(x)=-3x^2+2x^3.

g(-1)=-3-2=-5<0,

g(1)=-3+2=-1<0

g(2)=-3*4+16=40

Как видно, точка х=1,5 - является минимумом функции расстояния.

Чтобы найти у, надо подставить х=1,5 в уравнение параболы

y=1,5-1,5^2

y=1,5-2,25

y=-0,75

Значит точкой самой близкой к М на параболе является точка (1,5; -0,75).

ответ: (1,5; -0,75).
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
mail56box mail56box  24.06.2019 03:10
Простите, что непотеме. просто ко мне добавился пацан и я спрашиваю зачем добавляешьчя? он отвечает по фану как это понять?...
Angelina781 Angelina781  24.06.2019 03:10
Выпускники 11 класса языковой гимназии могут по выбору сдавать егэ по следующим предметам: обществознание, язык и язык. каждый ученик должен выбрать не менее двух...
terehovakira terehovakira  24.06.2019 03:10
3.решите уравнение: а) x2 – (x – 4)(x +4)= 2x б) (3y + 1)2 – 9(y +1)(y – 1)= 8y – 16...
musiclove2 musiclove2  24.06.2019 03:10
Как решить .на соревнованиях по баскетболу олег принес своей команде 13очков, вадик-на 5 очков меньше олега,а дима-на 10 очков больше вадика.сколько всего очков принесли...
natulsen natulsen  24.06.2019 03:10
За час температура воздуха изменилась на а градусов,а за второй час- на b градусов.на сколько градусов изменилась температура воздуха за 2 часа? решите в общем виде...
оьмдды оьмдды  24.06.2019 03:10
Мне ,правда буду решите уравнения: а) 34,56х + 12,11х = 73,134 б) 2,22х - 1,12х = 3,3...
shubinaale shubinaale  24.06.2019 03:10
Найти длину ломаной звенья которой равны 6см и 3см, 12см и 5см, 10см и 8см, 4см и 5см, 4см и 13см, 11см и 7см, как понять это какои ответ...
Анна1111111111111112 Анна1111111111111112  24.06.2019 03:10
Туристы шли 2 часа по 4 км, а потом еще 5 км. сколько км туристы ?...
newvf newvf  24.06.2019 03:10
Придумать 10 на деление с остатком...
vesnasurgut vesnasurgut  24.06.2019 03:10
Как решать? (дроби) 1/2+1/4 1/2+5//7 1/4+5/6 5/8+5/24 4/5+1/6 3/20+7/25...

Популярные вопросы