На координатной плоскости задан треугольник ABC
координатами своих вершин. Требуется найти :

Даны вершины треугольника: А(8; 5), В(2; 7), С(7; 6).

1) уравнение стороны АВ.

Находим вектор АВ

АВ = (2-8; 7-5) = (-6; 2), |AB| = √((-6)² + 2²) = √40 = 2√10 ≈ 6,3246,

Уравнение АВ: (x - 8)/(-6) = (y - 5)/2        каноническое,

                          x + 3у - 23 = 0                 общее,

                           у = (-1/3)x + (23/3)         с угловым коэффициентом.

2) Высота CD это перпендикуляр к стороне АВ.

Уравнение прямой АB x + 3y – 23 = 0 в общем виде Ах + Ву + С = 0.

Уравнение перпендикуляра имеет коэффициенты по сравнению  с А и B, равные В и –А из условия, что их скалярное произведение равно 0:

3х - у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки C(7; 6):

3*7 - 1*6 + С = 0, отсюда С = - 21 + 6 = -15.

Получаем уравнение высоты CD в общем виде:  

CD = 3х - у - 15 = 0.

Длину высоты CD можно получить двумя :

а) найти по Герону площадь S, тогда h(CD) = 2S/AB.

Вычисляем:

Координаты векторов сторон  

АВ (c) BC (a) AС (b)  

x y x y x y  

-6 2 5 -1 -1 1  

Длины сторон АВ (с) = √(36+ 4)= √40= 6,32456

 BC (а) =  √(25+ 1)= √26= 5,09902

 AC (b) = √(1+ 1)= √2= 1,41421

Периметр Р =     12,8378

Полупериметр р =     6,41889

Площадь по Герону: S = √( 6,4189*0,09434*1,31987*5,00468) = 2.

Сторона AB  = 2√10 ≈  6,3246.

|CD| = 2*2/ 2√10 = √10/5  = 0,63246.

б) найти координаты точки D как точку пересечения прямой АB и высоты CD, решив систему:

{AB: x + 3y – 23 = 0                x + 3y - 23 = 0

{CD: 3х - у - 15 = 0    |x(3) = 9x - 3y - 45 =0          

                                            10x          - 68 = 0,

x(D) = 68/10 = 6,8,

y(D) = 3x - 15 = 3*6,8 – 15 = 20,4 – 15 = 5,4.

Точка D(6,8; 5,4).

По разности координат находим CD. Точка C (7; 6)

CD = √((6,8 - 7)² + (5,4 – 6)²)= √((-0,2)² + (-0,6)²) =√0,4 ≈ 0,63246.

3) Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М = ((8+7)/2; (5+6)/2) = (7,5; 5,5).

Вектор ВМ = (7,5-2; 5,5*-7) = (5,5; -1,5), модуль равен √(30,25+2,25) =√32,5 ≈ 5,70088.

Получаем уравнение ВМ: (x – 2)/5,5 = (y – 7)/(-1,5) или 3x + 11y – 83 = 0.

Угол α между высотой CD и медианой ВМ находим по косинусу угла между векторами CD и ВM.

  Вектор CD = (-0,2; -0,6), модуль √0,4.

  Вектор ВM = (5,5; -1,5), модуль √32,5.

cos α = |-0,2*5,5 + (-0,6)*(-1,5)|/(√0,4*√32,5) = |-0,2|/√13 ≈ 0,05547.

α = arccos 0,05547 = 1,5153 радиан или 86,8202 градуса.