На изготовление открытого контейнера объёмом 10 м^3 в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из боковых граней которого – квадрат, требуются уголки по длине всех рёбер (12 рёбер) и фанера на боковые стенки и пол. Цена уголков – 20 рублей за погонный метр, фанеры – 60 рублей за квадратный метр. Каковы должны быть размеры контейнера, чтобы расходы на материал были минимальны? Чему равны эти расходы?

Размеры контейнера:

а=2,62м ; в=1,96м.

Минимальные расходы на изгоьовление:

1720руб.

Пошаговое объяснение:

Дано:

V=10м^3

V=а×в×в

1м^2(фан.)=60руб.

1п/м(угол)=20руб.

Найти:

Стоимость( мин.)=?

Формула обьема прямоуг. параллелепипеда

а×в×в=V

а×в^2=V

а=10/в^2

S поверхности без крышки:

S=3ab+2в^2 (так как две боковые стенки -

квадраты -- 2в^2, а три другие, включая днище, равные прямоугольники -- 3ав ).

S=3×(10/в^2)×в+2в^2=30/в+2в^2

S является функцией от в.

Находим производную:

S'=(30/в+2в^2)'=(30/в)'+(2в^2)'=4в-(30/в^2)

S'=0

4в-(30/в^2)=0

2в-(15/в^2)=0

2в=15/в^2С

2в^3=15

в^3=15/2

в^3=7,5

в=1,957(м)

а=10/(1,957^2)=2,611(м)

Стоимость фанеры:

С(1)=S×60=(3ав+2в^2)×60=

=(3×2,611×1,957+2×1,957×1,957)×60=1380(руб.)

Количество уголков:

4в+2в+2а=6в+2а

Четыре вертикальных ребра в, 2 горизон -

тальных ребра в и еше 4 горизонтальных

ребер а.

Стоимость уголков ( длины в и а округляем

с избытком) :

С(2)=(6×1,96+2×2,62)×20=340(руб).

Расходы на изготовоение контейнера:

С=С(1)+С(2)=1380+340=1720(руб).

1) совсем точно:

ребро квадрата = 2,01 м

фронтальные ребра = 2,4751862577659 м

стоимость уголков = 519,614900621272 руб.

стоимость фанеры = 1380,3343880597 руб.

общая стоимость = 1899,94928868097 руб.

2) с человеческими приближениями:

ребро квадрата = 2 м

фронтальные ребра = 2,5 м

стоимость уголков = 520 руб.

стоимость фанеры = 1380 руб.

общая стоимость = 1900 руб.

Пошаговое объяснение:

см. рис.

Пусть ребро квадрата будет х

фронтальное ребро будет у

Длину фронтального ребра можно вычислить, и она будет зависима от х:

V = x*x*y = 10 откуда получаем:

y = 10/x²

Длина ребер будет: L = 2*4*x + 4*(10/x²)

Площадь граней будет: S = 2*x² + 3*x*(10/x²) = 2*x² + 30/x

Стоимость материалов будет:

20*L + 60*S

Можно выразить стоимость материалов как функцию от длины ребра боковой грани. Получим:

Sum(х) = 20* (2*4*x + 4*(10/x²)) + 60 * (2*x² + 30/x)

Дальше нужно найти минимум данной функции....

Поскольку я ленив, то просто построил соответствующий график

см. рис.

Из его видно, что минимум очень близок к 2. Это значение можно и брать как решение.

Разница в сумме от алгебраического минимума (х=2,01) и приближенного минимума х = 2 составляет 5 копеек (примерно)

поэтому берем х=2 и все хорошо считается.

Если считать аналитически, то....

Sum(х) = 20* (2*4*x + 4*(10/x²)) + 60 * (2*x² + 30/x)

Sum(х) = 160*x + 800/x² + 120*x² + 1800/x

Sum(х) = 120*x² + 160*x + 1800/x + 800/x²

надо решить уравнение:

Sum'(х) = 0

Sum'(х) = 240x + 160 + 1800*(1/x)' + 800*(1/x²)'

----

(1/x)' = - 1 / x²

(1/x²)' = - 2 / x³

----

Sum'(х) = 240x + 160 + 1800*(- 1 / x²) + 800*(- 2 / x³)

решаем уравнение:

240x + 160 + 1800*(- 1 / x²) + 800*(- 2 / x³) = 0

24x + 16 + 180*(- 1 / x²) + 80*(- 2 / x³) = 0

6x + 4 + 45*(- 1 / x²) + 20(- 2 / x³) = 0

6x + 4 - 45 / x² - 40 / x³ = 0

кроме, как построить точки данного графика, я решений в рамках школьного курса не вижу,

поэтому:

х = 0, Sum'(0) = -40

х = 1, Sum'(1) = -75

х = 2, Sum'(2) = 6*16 + 4*8 - 90 - 40 = 96 + 32 - 130 = 128 - 130 = -2 (очень близко к 0)

х = 3, Sum'(3) = 6*9*9 + 4*9*3 - 45*3 - 40 = 419 (намного выше 0), следовательно корень - очень близко к 2.

Прим.:

Не думаю, что в рамках экзамена это ктото сможет решить...