На грани ABC тетраэдра ABCD отметили точку P. Точки A1,B1,C1 — проекции точки P на грани BCD, ACD, ABD соответственно. Оказалось, что PA1=PB1=PC1. Найдите ∠BA1C, если известно, что ∠BC1D=134∘, ∠CB1D=113∘.

1) Все треугольники DPC1 DPA1 DPB1 равны. Вообще то это очевидно, но назову признак - это прямоугольные треугольники с общей гипотенузой и равными катетами.

Поэтому DA1 = DB1 = DC1;

2) Легко понять, что можно взять сферу радиуса PA1 и вложить её в этот трехгранный угол так, чтобы она касалась боковых граней в точках A1 B1 C1. это еще раз доказывает только что установленное равенство, поскольку все касательные к сфере из одной точки равны.

Но, что еще важнее, сразу появляется еще много равных отрезков.

Например, CA1 = CB1 как касательные к сфере из точки С.

Поэтому ΔDB1C = ΔDA1C по трем сторонам.

Точно также доказывается ΔDB1A = ΔDС1A; ΔDC1B = ΔDA1B;

3) Теперь понятно, что из трех углов, в сумме составляющих 360°, два заданы в условии. ∠BA1D=∠BC1D=134°; ∠CA1D=∠CB1D=113°;

=> ∠BA1C = 360° - 113° - 134° = 113°