На гипотенузе ab прямоугольного треугольника abc выбраны точки p и q так, что ap=ac и bq=bc. найдите угол pcq. ответ дайте в градусах

Пошаговое объяснение:

Дано: ΔАВС; ∠АСВ = 90°

АР = АС; ВQ = ВС

Найти: ∠РСQ    

Решение.

     Рассмотрим Δ АВС. Отрезки СР и CQ делят прямой угол на 3 угла. Для удобства назовем ∠1 искомый ∠PCQ ,  ∠АСQ,  прилежащий к стороне АС, ∠2 и ∠ВСР, прилежащий у стороне ВС ∠3.

    ∠АСВ = ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° (это уравнение пригодится далее)

    Рассмотрим ΔАРС, боковые стороны АР=АС  по условию, ⇒  равны углы при основании этого равнобедренного треугольника:

∠АРС = ∠АСР  = ∠1 + ∠2.

    Рассмотрим ΔВQС, он также равнобедренный по условию (BQ = ВС), ⇒ можно записать равенство углов при его основании:

∠ВQC = ∠BCQ = ∠1 + ∠3

    Рассмотрим ΔРQС. Сумма его углов, как и любого треугольника, 180 ° :

∠АРС + ∠ВQC + ∠РСQ = (∠1 + ∠2) + (∠1 + ∠3) + ∠1 = 3 *∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

    Имеем систему уравнений, которую можно решить вычитания.

{    3 *∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

{    ∠1 + ∠2 + ∠3   =   90°      

    2 * ∠1        =          90°

∠1 = 45°

ответ: 45°