На эллипсе 9x² + 25y² = 225 найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса. , подробно.

Добрый день, ученик! Давай разберем данную задачу.

У нас есть эллипс с уравнением 9x² + 25y² = 225. Для начала давай найдем фокусы данного эллипса. Формула расстояния от точки (x, y) до фокуса (f, 0) на оси x:

d = √((x - f)² + y²)

Где d - расстояние от точки до фокуса.

В нашем случае, учитывая, что уравнение эллипса имеет коэффициенты 9 и 25, находим расстояние от фокуса до центра эллипса c. По формуле c² = a² - b², где a и b - больший и меньший радиусы эллипса соответственно:

c² = 25 - 9
c² = 16

Затем находим расстояния d1 и d2 от точки до фокусов:

d1 = √((x - c)² + y²)
d2 = √((x + c)² + y²)

Из условия задачи, расстояние от точки до правого фокуса (d2) в четыре раза больше расстояния от точки до левого фокуса (d1). Это можно записать в виде:

d2 = 4d1

Теперь у нас есть все необходимые формулы и условия, чтобы решить данную задачу.

Подставим выражения для d1 и d2 в условие d2 = 4d1:

√((x + c)² + y²) = 4√((x - c)² + y²)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x + c)² + y² = 16[(x - c)² + y²]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x² + 2cx + c² + y² = 16(x² - 2cx + c² + y²)

Раскроем скобки:

x² + 2cx + c² + y² = 16x² - 32cx + 16c² + 16y²

Приведем подобные слагаемые:

0 = 15x² - 34cx + 15c² + 15y²

Мы получили квадратичное уравнение, которое можно решить методом подстановки или графически. Но чтобы упростить задачу, заметим, что эллипс симметричен относительно оси y, так как y² находится в уравнении эллипса с коэффициентом 25, а x² - с коэффициентом 9. Это значит, что точка, которая удовлетворяет данному условию, будет находиться на оси y.

Подставим x = 0 в уравнение:

0 = 15(0)² - 34(0)c + 15c² + 15y²

0 = 15c² + 15y²

Делим обе части уравнения на 15:

0 = c² + y²

Так как у нас в условии имеется одна точка, то можно упустить выражения c² и y². Имеем:

0 = 0

Данное уравнение верно для всех значений y. Таким образом, точка, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса, находится на оси y и может иметь любую координату y.

Ответ: точка на эллипсе, у которой расстояние от нее до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса, может иметь любую координату на оси y.