На доске записано число 2. Разрешается записывать новые числа, применяя одну из операций: 1)можно увеличить любое из записанных чисел на 3; 2)можно любое из записанных чисел возвести в квадрат. Можно ли в какой-то момент получить на доске число: 2016?

нет

Пошаговое объяснение:

Число 2016 делится на 3. Значит чтобы получить 2016 нам нужно каким-то образом получить число, которое тоже делится на 3, а дальше добить тройками, т.е.

x mod 3 = 0

Давай проверим, можно ли с стартовой двойки и имеющихся операций получить такое число:

1. Пусть t - это число, которое не делится на 3, т.е. t mod 3 ≠0, тогда

(t+3) mod 3 = t mod 3 ≠ 0. Первая операция не даст число, делящееся на 3.

2. Пусть t - такое же число как и в первый раз:

t² mod 3 = (t mod 3)² mod 3.

t mod 3 по нашим условиям может принимать только значения 1 и 2, квадраты этих чисел не делятся на 3 без остатка, что значит, что и с операции мы не можем получить число, которое будет делиться на 3.

И вот какая штука выходит: у нас исходно t=2. И оно, ВНЕЗАПНО, не делится на 3. Мы показали, что с данных нам операций получить число, которое будет делиться на 3 нельзя. Из всего вышесказанного можно заключить, что получить число 2016 невозможно.