Можно ли записать по кругу n целых чисел, чтобы для каждых двух соседних частное от деления большего на меньшее было простым а) при n = 10; б) при n = 11.
Допустим, что нашлись числа a1, a2, ..., a1995, которые можно расставить требуемым образом. Пусть число ak (k = 1, 2, ..., 1995) представляется в виде произведения nk простых сомножителей (не обязательно различных). Так как каждые два соседние числа отличаются друг от друга одним простым множителем, то для каждого k = 1, 2, ..., 1994 числа nk и nk+1 отличаются на единицу, то есть имеют разную чётность. Значит, числа n1, n3, ..., n1995 должны быть одной чётности. С другой стороны, числа a1995 и a1 также соседние, поэтому n1995 и n1 должны иметь разную чётность. Противоречие.
Решение
Допустим, что нашлись числа a1, a2, ..., a1995, которые можно расставить требуемым образом. Пусть число ak (k = 1, 2, ..., 1995) представляется в виде произведения nk простых сомножителей (не обязательно различных). Так как каждые два соседние числа отличаются друг от друга одним простым множителем, то для каждого k = 1, 2, ..., 1994 числа nk и nk+1 отличаются на единицу, то есть имеют разную чётность. Значит, числа n1, n3, ..., n1995 должны быть одной чётности. С другой стороны, числа a1995 и a1 также соседние, поэтому n1995 и n1 должны иметь разную чётность. Противоречие.
ответ
Нельзя.