Можно ли квадрат натурального числа записать с 3 единиц, 4 пятерок и любого количества нулей?

Используем свойство: a≡S(a) (mod 9), где а - число, S(a) - сумма цифр числа. При этом, естественно, верно и S(a)≡S(S(a)) (mod 9) и т.д. По сути, конечная сумма числа(сумма его цифр, приведенная к одной цифре. Пример: 169; 1+6+9=16; 1+6=7; 7 - и есть конечная сумма) равна его остатку от деления на 9( если число не кратно 9) или 9(если число кратно 9).

Рассмотрим возможные остатки от деления чисел вида x² на 9.

1) x≡1(mod 9) → x²≡1*1(mod 9)≡1( mod 9)

2) x≡2(mod 9) → x²≡2*2(mod 9)≡4(mod 9)

3) x≡3(mod 9) → x²≡3*3(mod 9)≡0(mod 9)

4) x≡4(mod 9) → x²≡4*4(mod 9)≡16(mod 9)≡7(mod 9)

5) x≡5(mod 9) → x²≡5*5(mod 9)≡25(mod 9)≡7(mod 9)

6) x≡6(mod 9) → x²≡6*6(mod 9)≡36(mod 9)≡0(mod 9)

7) x≡7(mod 9) → x²≡7*7(mod 9)≡49(mod 9)≡4(mod 9)

8) x≡8(mod 9) → x²≡8*8(mod 9)≡64(mod 9)≡1(mod 9)

9) x≡0(mod 9) → x²≡0(mod 9)

Как видим, могут быть следующие остатки при делении на 9 квадратов натуральных чисел: 0; 1; 4 и 7. То есть конечная сумма любого квадрата равна одному из этих чисел( но в случае, если остаток равен 0, конечная сумма равна 9)

Теперь найдем конечную сумму нашего числа. 3*1+4*5+n*0=3+20=23; 2+3=5. То есть конечная сумма равна 5, чего не может быть, если искомое число квадрат. Противоречие. Значит числа, удовлетворяющего условиям задания, не существует.