Может ли точка экстремума функции быть одновременно и точкой экстремума её производной ?

Да

Пошаговое объяснение:

Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю либо не существует, — ее критическими точками. Поэтому все точки экстремума функции содержатся среди ее критических точек.