Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 140 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше, чем на путь про­тив те­че­ния. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч. ответ дайте в км/ч.

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть \( v \) - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
Также, пусть \( t \) - время в пути в против течения и \( t - 2 \) - время в пути в пользу течения.
Скорость движения лодки против течения будет равна сумме скорости лодки в неподвижной воде и скорости течения:
\( v + 4 \) (км/ч).
Скорость движения лодки в пользу течения будет равна разности скорости лодки в неподвижной воде и скорости течения:
\( v - 4 \) (км/ч).

Теперь у нас есть два уравнения, связывающие расстояние, скорость и время в пути:
1. \( (v + 4) \cdot t = 140 \). В путь против течения лодка прошла 140 км.
2. \( (v - 4) \cdot (t - 2) = 140 \). В путь пользу течения лодка также прошла 140 км, но на 2 часа меньше, чем в путь против течения.

Теперь решим систему уравнений методом подстановки.

Сначала решим первое уравнение относительно \( t \):
\( t = \frac{{140}}{{v + 4}} \).

Подставим это значение \( t \) во второе уравнение:
\( (v - 4) \cdot \left(\frac{{140}}{{v + 4}} - 2\right) = 140 \).

Раскроем скобки:
\( (v - 4) \cdot \left(\frac{{140 - 2(v + 4)}}{{v + 4}}\right) = 140 \).

Упростим выражение:
\( (v - 4) \cdot \left(\frac{{140 - 2v - 8}}{{v + 4}}\right) = 140 \).

Далее, умножим обе части уравнения на \( v + 4 \) для избавления от дробей:
\( (v - 4) \cdot (140 - 2v - 8) = 140 \cdot (v + 4) \).

Упростим выражение:
\( (v - 4) \cdot (132 - 2v) = 140v + 560 \).

Раскроем скобки:
\( 132v - 2v^2 - 528 + 8v = 140v + 560 \).

Упорядочим слагаемые:
\( -2v^2 + 132v + 8v - 140v - 132v - 528 + 560 = 0 \).

Упростим выражение:
\( -2v^2 - 232v + 32 = 0 \).

Разделим уравнение на -2, чтобы коэффициент при \( v^2 \) был 1:
\( v^2 + 116v - 16 = 0 \).

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта.
Дискриминант \( D \) равен: \( D = b^2 - 4ac \).
Где \( a = 1 \), \( b = 116 \), \( c = -16 \).

Рассчитаем дискриминант:
\( D = 116^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 13456 \).

Так как \( D > 0 \), у нас есть два корня квадратного уравнения:
\( v_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} \) и \( v_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} \).

Рассчитаем корни:
\( v_1 = \frac{{-116 + \sqrt{13456}}}{{2 \cdot 1}} \approx 3.281 \) км/ч.
\( v_2 = \frac{{-116 - \sqrt{13456}}}{{2 \cdot 1}} \approx -119.281 \) км/ч.

Ответ: скорость лодки в неподвижной воде составляет около \( 3.281 \) км/ч.