МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ «КЛЕВЕР» ДЛЯ 1-2 КУРСА. ОСЕНЬ
1. В лавке у торговца несколько шапок. Если они будут проданы по 6 рублей,
то он получит 24 рубля барыша (прибыли). Если же шапки продадут по 3
рубля, то убыток составит 12 рублей. Сколько шапок в лавке?
А. 14;
Б. 15;
В. 18;
Г. 12;
Д. нет правильного ответа.
2. 27 рабочих за 16 дней выкопали пруд. Сколько нужно рабочих, чтобы
вырыть такой же пруд за 12 дней?
А. 36;
Б. 38;
В. 40;
Г. 35;
Д. нет правильного ответа.
3. В городском зоопарке 80% животных – коричневые, 60% коричневых – без
хвоста.
Все коричневые животные с хвостом - кенгуру. Других кенгуру нет. Всего в
зоопарке 8 кенгуру. Сколько животных в городском зоопарке?
А. 30;
Б. 25;
В. 36;
Г. 20;
Д. нет правильного ответа.
4. Велосипедист поднимался в гору со скоростью 12 км /час, а спускался с
горы со скоростью 20 км /час. На спуск с горы тем же путем он потратил
на 16 минут меньше, чем на подъем. Чему равна длина дороги на гору?
А. 8;
Б. 10;
В. 6;
Г. 4;
Д. нет правильного ответа.
5. После 19 дней регулярного использования каждая сторона куска мыла ,
имеющего форму параллелепипеда, уменьшилась на одну треть
первоначальной длины. За сколько дней израсходуется оставшийся кусок
мыла?
www.cleve.ru [email protected] 2
А. 8;
Б. 10;
В. 6;
Г. 4;
Д. нет правильного ответа.
6. Сколько существует восьмизначных чисел, запись которых начинается с
1989 и делится на 6, на 7, на 8 и на 9?
А. 22;
Б. 18;
В. 10;
Г. 20;
Д. нет правильного ответа.
7. Ученику предложили выполнить работу, состоящую из 20 задач. За
каждую верно решенную задачу ставят за каждую неверно
решенную – вычитают за задачу, которую не брался решать – 0
. Ученик получил в сумме Сколько задач он брался
решать?
А. 12;
Б. 13;
В. 10;
Г. 15;
Д. нет правильного ответа.
8. Решить уравнение:
х²х³+(х+1)² (х+1)³+(х+2)²(х+2)³+…+(х+1998)²(х+1998)³=0
А. 1000;
Б. -999;
В. 999;
Г. -1000;
Д. нет правильного ответа.
9. Пусть М середина стороны ВС треугольника АВС, Р – точка пересечения
его биссектрис. Известно, что МР=РА. Найти наименьшее возможное
значение угла МРА.
А. 150;
Б. 125;
В. 300;
Г. 250;
Д. нет правильного ответа.
10.На сколько частей делит пространство пять плоскостей, проходящих через
одну точку( никакие три плоскости не имеют общей прямой)?
А. 22;
Б. 44;
В. 20;
Г. 11;
Д. нет правильного ответа.

Давайте по очереди решим каждый вопрос из олимпиады.

1. В лавке у торговца несколько шапок. Если они будут проданы по 6 рублей, то он получит 24 рубля барыша (прибыли). Если же шапки продадут по 3 рубля, то убыток составит 12 рублей. Сколько шапок в лавке?

Давайте предположим, что в лавке находится x шапок. Используя условие задачи, мы можем составить следующие уравнения:
6x - 24 = 3x + 12
3x = 36
x = 12

Ответ: В лавке 12 шапок.

2. 27 рабочих за 16 дней выкопали пруд. Сколько нужно рабочих, чтобы вырыть такой же пруд за 12 дней?

Давайте предположим, что нам нужно найти количество рабочих для выполнения работы за 12 дней и обозначим это количество как y. Мы можем использовать пропорцию, чтобы решить эту задачу:

27/16 = y/12

Путем умножения чисел через диагональ мы получаем:

16y = 27 * 12
16y = 324
y = 324/16
y ≈ 20.25

Так как мы не можем иметь дробное количество рабочих, ближайшее целое число будет 20.

Ответ: Нам понадобится 20 рабочих.

3. В городском зоопарке 80% животных – коричневые, 60% коричневых – без хвоста. Все коричневые животные с хвостом - кенгуру. Других кенгуру нет. Всего в зоопарке 8 кенгуру. Сколько животных в городском зоопарке?

Давайте предположим, что всего в зоопарке x животных. Используя информацию из условия, мы можем составить следующие уравнения:
0.8x = 0.6x + 8
0.2x = 8
x = 8/0.2
x = 40

Ответ: В городском зоопарке 40 животных.

4. Велосипедист поднимался в гору со скоростью 12 км/час, а спускался с горы со скоростью 20 км/час. На спуск с горы тем же путем он потратил на 16 минут меньше, чем на подъем. Чему равна длина дороги на гору?

Давайте обозначим длину пути на гору как x. Мы можем использовать уравнение времени для решения этой задачи:

x/12 + 16/60 = x/20

Путем упрощения и решения этого уравнения мы получаем:

x/12 + 4/15 = x/20
x/12 - x/20 = - 4/15
(20x - 12x)/240 = -4/15
8x/240 = -4/15
x/30 = -4/15

Умножаем обе части уравнения на 30:

x = (-4/15) * 30
x = -8

Ответ: Длина дороги на гору равна 8 км.

5. После 19 дней регулярного использования каждая сторона куска мыла, имеющего форму параллелепипеда, уменьшилась на одну треть первоначальной длины. За сколько дней израсходуется оставшийся кусок мыла?

После 19 дней каждая сторона мыла уменьшилась на одну треть, что означает, что оставшийся кусок мыла составляет две трети от исходного. Значит на все оставшиеся дни мы будем использовать эти две трети.

Значит, количество оставшихся дней можно вычислить так:

2/3 * x = 1
x = 1 / (2/3)
x = 3/2

Ответ: Нам понадобится 1.5 дня, чтобы израсходовать оставшийся кусок мыла.

6. Сколько существует восьмизначных чисел, запись которых начинается с 1989 и делится на 6, на 7, на 8 и на 9?

Чтобы число делилось на 6, оно должно быть четным и делиться на 3. Чтобы число делилось на 7, сумма его цифр, взятых с обратным знаком, должна делиться на 7. Чтобы число делилось на 8, его последние три цифры должны составлять число, делящееся на 8. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9.

Давайте рассмотрим каждое условие по очереди:
- Число должно быть четным и делиться на 3. Восьмизначное число, начинающееся с 1989, будет иметь вид 19890___. Чтобы оно было четным и делалось на 3, последняя цифра должна быть 6.
- Сумма цифр числа, взятых с обратным знаком, должна делиться на 7. Прибавив 6 к числу 198906, мы получим число, сумма цифр которого 36, что делится на 7.
- Последние три цифры должны составлять число, делящееся на 8. 906 делится на 8.
- Сумма цифр должна делиться на 9. Сумма цифр числа 198906 составляет 33, что делится на 9.

Таким образом, у нас есть только одно восьмизначное число, удовлетворяющее всем условиям.

Ответ: Одно восьмизначное число начинается с 1989 и делится на 6, 7, 8 и 9.

7. Ученику предложили выполнить работу, состоящую из 20 задач. За каждую верно решенную задачу ставят за каждую неверно решенную – вычитают за задачу, которую не брался решать – 0. Ученик получил в сумме Сколько задач он брался решать?

Предположим, что ученик взялся решать x задач. Тогда, по условию задачи:

x - (20 - x) = C

Где C - общий результат работы ученика. Решим это уравнение:

x - 20 + x = C
2x - 20 = C
2x = C + 20
x = (C + 20) / 2

Ответ: Ученик взялся решать (C + 20) / 2 задачи.

8. Решить уравнение: х² * х³ + (х+1)² * (х+1)³ + (х+2)² * (х+2)³ + … + (х+1998)² * (х+1998)³ = 0

Это уравнение имеет вид суммы продуктов двух множителей, которые могут быть представлены как (x + k)² * (x + k)³. Мы можем факторизовать каждый множитель и объединить одинаковые множители:

(x + k)² * (x + k)³ = (x + k)^(2 + 3) = (x + k)^5

Таким образом, уравнение приобретает вид:

(x + 0)^5 + (x + 1)^5 + (x + 2)^5 + … + (x + 1998)^5 = 0

Мы видим, что у нас есть сумма пятых степеней (x + k)^5 для всех значений k от 0 до 1998. Известно, что сумма пятых степеней противоположных чисел равна нулю. Поэтому у нас будет равное количество положительных и отрицательных слагаемых. Таким образом, каждое значение x, противоположное k, делит сумму пятых степеней на (x + k) и, следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: Нет точного значения x, но каждое x, противоположное k, является корнем уравнения.

9. Пусть М середина стороны ВС треугольника АВС, Р – точка пересечения его биссектрис. Известно, что МР = РА. Найти наименьшее возможное значение угла МРА.

Если Р - точка пересечения биссектрис треугольника АВС, то углы АРС и МРА должны быть равными. Кроме того, учитывая, что МР = РА, угол МПА также равен углу МРА. Таким образом, мы можем разделить треугольник АМР на два равных прямоугольных треугольника, такие как МРА и МПА.

Теперь, если М находится на середине стороны ВС, угол BCM будет 90 градусов, поскольку М находится на