Метод интервалов.

(3х+20)(3-6х)(2х-3)(7-3х)≥0

Добрый день! Сегодня мы разберем задачу, которая связана с применением метода интервалов.

Для начала, давайте вспомним, что такое метод интервалов. Этот метод используется для нахождения решений уравнений или неравенств, и он основан на разбиении числовой прямой на интервалы и анализе знака выражения внутри каждого интервала.

Теперь перейдем к решению вашей задачи: (3х+20)(3-6х)(2х-3)(7-3х)≥0.

Шаг 1: Найдем значения х, при которых выражение равно нулю. Для этого мы приравниваем каждый множитель внутри скобок к нулю и решаем соответствующие уравнения:

3х + 20 = 0 => 3х = -20 => х = -20/3 ≈ -6.67,
3 - 6х = 0 => -6х = -3 => х = -3/(-6) = 1/2 = 0.5,
2х - 3 = 0 => 2х = 3 => х = 3/2 = 1.5,
7 - 3х = 0 => -3х = -7 => х = -7/(-3) ≈ 2.33.

Шаг 2: Построим числовую прямую и отметим найденные значения х:

-∞ ← -6.67 → 0.5 → 1.5 → 2.33 → +∞.

Шаг 3: Теперь разобьем числовую прямую на интервалы, используя найденные значения х:

-∞ ← -6.67)---(-6.67 → 0.5)---(0.5 → 1.5)---(1.5 → 2.33)---(2.33 → +∞.

Шаг 4: Определим знак выражения (3х+20)(3-6х)(2х-3)(7-3х) внутри каждого интервала.
Сначала рассмотрим первый интервал (-∞, -6.67):

Подставим вместо х значение, лежащее в интервале, например, х = -10, в выражение (3х+20)(3-6х)(2х-3)(7-3х):

(3*(-10) + 20)(3 - 6*(-10))(2*(-10) - 3)(7 - 3*(-10)) = (-30 + 20)(3 + 60)(-20 - 3)(7 + 30) = (-10)(63)(-23)(37) = -564210.

Получили отрицательное число. Значит, выражение (3х+20)(3-6х)(2х-3)(7-3х) внутри первого интервала меньше нуля.

Шаг 5: Аналогично проводим оценку знаков внутри остальных интервалов. Проходя по числовой прямой и анализируя знаки в выражении, получаем следующую таблицу:

Интервал | Знак выражения (3х+20)(3-6х)(2х-3)(7-3х)
-------------------------------------------------------
(-∞, -6.67) | "-"
(-6.67, 0.5) | "+"
(0.5, 1.5) | "-"
(1.5, 2.33) | "+"
(2.33, +∞) | "-"

Шаг 6: Ответом на неравенство (3х+20)(3-6х)(2х-3)(7-3х)≥0 будет множество х, для которого выражение внутри скобок имеет нулевой или положительный знак. То есть интервалы, в которых знаки выражения равны "+".

Таким образом, ответом на данное неравенство будет:

(-6.67, 0.5] ∪ (1.5, 2.33].

Надеюсь, я смог ясно объяснить и решить задачу, используя метод интервалов. Если у тебя возникнут еще вопросы - не стесняйся, задавай их, и я с удовольствием отвечу!