МАТЕМАТИКА
1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой y=x^3 в точке C(-2;-8)
2.Кривая задана уравнением y=x^2+5x+3. Определить углы наклона
касательных к положительному направлению оси 0x, проведённых к
кривой в точках в точках с абсциссами x= -2 и x=0.
3.На кривой y=4x^2 -6x+3 найти точку, в которой касательная
параллельна прямой y=2x
4.В какой точке касательная к кривой y=x^2-1 : а) параллельна оси 0x; б) образует с осью угол 45 ?
5.Найти абсциссу точки параболы y= -x^2+x+3/4, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

1. Чтобы найти угловой коэффициент касательной к кривой y=x^3 в точке C(-2;-8), нам нужно воспользоваться производной этой кривой. Производная функции y=x^3 вычисляется как производная монома x^n, где n - степень, и равна n*x^(n-1).

Для данной кривой у нас y=x^3, следовательно, производная будет равна dy/dx = 3*x^2.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в данной точке, то есть dy/dx(x=-2) = 3*(-2)^2 = 3*4 = 12.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к кривой y=x^3 в точке C(-2;-8) равен 12.

2. Чтобы найти углы наклона касательных к положительному направлению оси 0x, проведенных к кривой y=x^2+5x+3 в точках с абсциссами x=-2 и x=0, мы также будем использовать производную.

Вычислим производную функции y=x^2+5x+3. Производная от x^2 равна 2x, производная от 5x равна 5, а производная от константы 3 равна 0.

Итак, dy/dx = 2x+5.

Угол наклона касательной равен значению производной в данной точке.

В точке x=-2: dy/dx(x=-2) = 2*(-2)+5 = -4+5 = 1. Это будет угол наклона касательной в точке с абсциссой x=-2.

В точке x=0: dy/dx(x=0) = 2*0+5 = 0+5 = 5. Это будет угол наклона касательной в точке с абсциссой x=0.

Ответ: Углы наклона касательных к положительному направлению оси 0x, проведенных к кривой y=x^2+5x+3 в точках с абсциссами x=-2 и x=0, равны соответственно 1 и 5.

3. Чтобы найти точку, в которой касательная к кривой y=4x^2-6x+3 параллельна прямой y=2x, мы должны приравнять их угловые коэффициенты.

У кривой y=4x^2-6x+3 угловой коэффициент равен производной этой функции.

Вычислим производную: dy/dx = 8x-6.

У прямой y=2x угловой коэффициент равен 2.

Поскольку касательная и прямая параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равными.

Значит, мы должны решить уравнение 8x-6=2.

Решим его:
8x-6=2
8x=2+6
8x=8
x=1.

Подставим x=1 в уравнение кривой: y=4*1^2-6*1+3 = 4-6+3=1.

Ответ: Точка, в которой касательная к кривой y=4x^2-6x+3 параллельна прямой y=2x, имеет абсциссу x=1 и ординату y=1.

4.а) Чтобы найти точку, в которой касательная к кривой y=x^2-1 параллельна оси 0x, мы должны найти такую точку, в которой угловой коэффициент касательной равен 0. Касательная, параллельная оси 0x, горизонтальна и не имеет углового коэффициента.

Производная данной функции равна dy/dx = 2x.

Если касательная параллельна оси 0x, то dy/dx = 2x = 0.

Решим уравнение: 2x = 0
x = 0.

Подставим x=0 в уравнение кривой: y=0^2-1 = -1.

Ответ: Касательная, параллельная оси 0x, кривой y=x^2-1 проходит через точку (0;-1).

б) Чтобы найти точку, в которой касательная к кривой y=x^2-1 образует с осью y угол 45 градусов, мы должны найти такую точку, в которой угловой коэффициент касательной равен tg(45)=1. Касательная, образующая угол 45 градусов с осью, имеет угловой коэффициент tg(45)=1.

Производная данной функции равна dy/dx = 2x.

Если касательная образует угол 45 градусов с осью y, то tg(45) = 1 = dy/dx.

Решим уравнение: 2x = 1
x = 1/2.

Подставим x=1/2 в уравнение кривой: y=(1/2)^2-1 = 1/4-1 = -3/4.

Ответ: Касательная, образующая угол 45 градусов с осью y, кривой y=x^2-1 проходит через точку (1/2;-3/4).

5. Чтобы найти абсциссу точки параболы y=-x^2+x+3/4, в которой касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти такую абсциссу, когда угловой коэффициент касательной равен 0. Касательная, параллельная оси абсцисс, горизонтальна и не имеет углового коэффициента.

Производная данной функции равна dy/dx = -2x+1.

Если касательная параллельна оси абсцисс, то dy/dx = -2x+1 = 0.

Решим уравнение: -2x+1 = 0
-2x = -1
x = 1/2.

Ответ: Абсцисса точки параболы y=-x^2+x+3/4, в которой касательная параллельна оси абсцисс, равна 1/2.