Мальчик хочет на стене дома выложить мозаику прямоугольной формы из разноцветных квадратных плиток. если укладывать в ряд по 9 плиток, то для квадратной мозаики плиток не хватает. при укладывании по 7 тоже остаётся неполный ряд, в котором на 5 плиток больше, чем в неполном ряду при укладывании по 8 плиток. сколько всего плиток у мальчика?

1) На квадрат   по  9 плиток плиток не хватает, следовательно:
S кв.  =  9×9 = 81
Общее количество плитки  р <  81 шт.

2) На прямоугольник  n  рядов  по 7 плиток  всей  плитки не хватает. Следовательно:
Максимальный остаток  6 штук (т.к.  неполный ряд   >5 )
Всего плитки  (7n + 6) штук    , при 1<n<7  (т.к. получится квадрат)
Иными словами :
Общее количество плитки   р < 7*6 + 6 <48  шт.

3) На прямоугольник в k  рядов  по 8  плиток всей плитки не хватает.
Следовательно:
Максимальный остаток   ( 7  - 6 ) = 1 штука
Всего плитки  (8k  +1)  штук ,  при 1<  k < 7   (из пункта 2)
Иными словами:
Общее количество плитки  р <  (7*7  +1) < 48 шт.

4)  Метод подбора:
1.  n = 6 ;   k = 5
p=7*6 +6 = 42+6  = 48
p=8*5 + 1  = 40+1 = 41 
48≠41  - не подходит
2.  n  = 5 , k = 5
p= 7*5+6 = 35 +6  = 41
p= 8*5 + 1  = 40 +1 = 41
41 = 41   -   подходит 

ответ:  41 плитка у мальчика.