Круговой турнир по футболу - (3-1-0) По волейболу - (1-0) - в волейболе нет ничьей
Д1. Нарисуйте турнирную таблицу
(а) кругового турнира 5 команд по волейболу, в котором все команды набрали равное число очков;
(б) кругового турнира 5 команд по волейболу, в котором все команды набрали разное число очков;
Д2. В круговом турнире 8 футбольных команд половина всех игр закончилась вничью. Сколько очков (в сумме) набрали команды?
Д3. В круговом турнире по футболу участвовали 23 команды. Могло ли оказаться, что
(а) ничьих было столько же, сколько и игр, в которых зафиксирована чья-то победа;
(б) у каждой команды количество ничьих равно количеству поражений и равно числу побед?
Д4. По окончании шахматного турнира Незнайка сказал: «Я набрал на 3,5 очка больше, чем потерял». Могут ли его слова быть правдо̮й? За победу давали 1 очко, за ничью — 1/2 очка, за поражение — 0.
Д5. Может ли по итогам кругового турнира 11 команд по футболу оказаться так, что каждая команда набрала нечётное число очков?

Добрый день! Давайте по порядку решим задачи.

Д1.
а) В круговом турнире 5 команд по волейболу, в котором все команды набрали равное число очков, можем составить следующую таблицу:

| Команда 1 | Команда 2 | Команда 3 | Команда 4 | Команда 5 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 1| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 2| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 3| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 4| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 5| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|

В данной таблице все числа равны нулю, так как все команды набрали равное число очков.

б) В круговом турнире 5 команд по волейболу, в котором все команды набрали разное число очков, можем составить следующую таблицу:

| Команда 1 | Команда 2 | Команда 3 | Команда 4 | Команда 5 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 1| 0 | 3 | 1 | 0 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 2| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 3| 0 | 2 | 0 | 3 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 4| 1 | 0 | 1 | 0 | 3 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
Команда 5| 2 | 0 | 0 | 2 | 0 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|

В данной таблице числа означают количество очков, набранное каждой командой. Каждая команда набрала разное число очков.

Д2. В круговом турнире 8 футбольных команд половина всех игр закончилась вничью. Это значит, что в каждой игре, участвующей две команды, выигрышей не было. Значит каждая команда получила 1 очко за игру без победителя (ничью). Значит, общее количество игр равно (8 * 7) / 2 = 28. Так как за победу дается 3 очка, общее количество очков, набранных командами, равно 28 * 3 = 84.

Д3.
а) В круговом турнире по футболу участвовали 23 команды. Если ничьих было столько же, сколько и игр, в которых зафиксирована чья-то победа, это значит, что игры без победителей не было. Так как каждая игра участвует две команды, общее количество игр будет равно (23 * 22) / 2 = 253. Если в каждой игре была ничья, то общее количество набранных очков будет равно 253 * 1 = 253, так как за ничью дается 1 очко. Но общее количество возможных очков равно 3 * 23 = 69 (23 команды по 3 очка за победу). Очевидно, что 69 не равно 253, поэтому невозможно, чтобы ничьих было столько же, сколько и игр с зафиксированной победой.

б) Если у каждой команды количество ничьих равно количеству поражений и равно числу побед, то суммарное количество очков для каждой команды будет равно (по 1 очку за каждую ничью, победу и поражение). Значит, общее количество очков будет равно 3 * 23 = 69.

Д4. По окончании шахматного турнира Незнайка сказал, что он набрал на 3,5 очка больше, чем потерял. За победу дается 1 очко, за ничью — 1/2 очка, за поражение — 0 очков.

Пусть Незнайка набрал в итоге x очков. Тогда он потерял (x - 3,5) очков. Так как за каждую победу дается 1 очко, за каждую ничью — 1/2 очка, а за каждое поражение — 0 очков, можем составить уравнение:

x - (x - 3,5) = 3,5

Упростим:

x - x + 3,5 = 3,5

3,5 = 3,5

Уравнение верно, значит Незнайка мог набрать на 3,5 очка больше, чем потерял.

Д5. По итогам кругового турнира 11 команд по футболу каждая команда играет с каждой командой один раз. За победу дается 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Поскольку каждая игра имеет победителя и проигравшего, то суммарное количество очков, набранное всеми командами, будет четным числом.
В нашем случае, каждая команда должна набрать 3 очка за каждую победу, и так как всего будет игр с участием 11 команды, суммарное количество очков будет равно 3 * 11 = 33. Значит каждая команда наберет нечётное число очков.