Контрольная работа состоит из пяти вопросов. На каждый вопрос приведено четыре варианта ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти M(X), D(X)

Добрый день! Рад быть вашим учителем и помочь вам разобраться с этим вопросом.

Итак, у нас есть контрольная работа, состоящая из пяти вопросов, на каждый из которых есть четыре варианта ответа, и только один из них правильный. То есть, если угадывать ответы наугад, то вероятность правильного ответа равна 1/4.

Давайте составим закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Для этого нам нужно узнать вероятности каждого возможного числа правильных ответов.

Для начала, рассмотрим все возможные варианты числа правильных ответов: 0, 1, 2, 3, 4 и 5.

1. Число правильных ответов равно 0: Здесь мы можем неправильно ответить на все пять вопросов, что происходит с вероятностью (3/4)^5, так как на каждый вопрос мы неправильно ответили с вероятностью 3/4. То есть, вероятность получить 0 правильных ответов равна (3/4)^5.

2. Число правильных ответов равно 1: Здесь мы должны выбрать один вопрос, на который правильно ответим, и четыре вопроса, на которые неправильно ответим. Это можно сделать следующим способом - выбрать один из пяти вопросов, на который мы ответим правильно, и для оставшихся четырех вопросов неправильно ответим на каждый из них. Таким образом, вероятность получить 1 правильный ответ равна C(5, 1) * (1/4)^1 * (3/4)^4, где C(5, 1) обозначает количество комбинаций выбора одного вопроса из пяти.

3. Число правильных ответов равно 2: Здесь мы должны выбрать два вопроса, на которые правильно ответим, и три вопроса, на которые неправильно ответим. Это можно сделать следующим способом - выбрать два из пяти вопросов, на которые мы ответим правильно, и для оставшихся трех вопросов неправильно ответим на каждый из них. Таким образом, вероятность получить 2 правильных ответа равна C(5, 2) * (1/4)^2 * (3/4)^3.

4. Число правильных ответов равно 3: Здесь мы должны выбрать три вопроса, на которые правильно ответим, и два вопроса, на которые неправильно ответим. Это можно сделать следующим способом - выбрать три из пяти вопросов, на которые мы ответим правильно, и для оставшихся двух вопросов неправильно ответим на каждый из них. Таким образом, вероятность получить 3 правильных ответа равна C(5, 3) * (1/4)^3 * (3/4)^2.

5. Число правильных ответов равно 4: Здесь мы должны выбрать четыре вопроса, на которые правильно ответим, и один вопрос, на который неправильно ответим. Это можно сделать следующим способом - выбрать четыре из пяти вопросов, на которые мы ответим правильно, и для оставшегося одного вопроса неправильно ответим. Таким образом, вероятность получить 4 правильных ответа равна C(5, 4) * (1/4)^4 * (3/4)^1.

6. Число правильных ответов равно 5: Здесь мы должны правильно ответить на все пять вопросов, что происходит с вероятностью (1/4)^5.

Теперь, когда мы знаем вероятности всех возможных чисел правильных ответов, мы можем составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании:

X | P(X)
---------
0 | (3/4)^5
1 | C(5, 1) * (1/4)^1 * (3/4)^4
2 | C(5, 2) * (1/4)^2 * (3/4)^3
3 | C(5, 3) * (1/4)^3 * (3/4)^2
4 | C(5, 4) * (1/4)^4 * (3/4)^1
5 | (1/4)^5

Теперь давайте найдем математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Математическое ожидание M(X) можно найти, умножив каждое значение X на соответствующую вероятность P(X), а затем сложив все полученные произведения:

M(X) = 0 * (3/4)^5 + 1 * C(5, 1) * (1/4)^1 * (3/4)^4 + 2 * C(5, 2) * (1/4)^2 * (3/4)^3 + 3 * C(5, 3) * (1/4)^3 * (3/4)^2 + 4 * C(5, 4) * (1/4)^4 * (3/4)^1 + 5 * (1/4)^5

Дисперсию D(X) можно найти, используя следующую формулу:

D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2

где M(X^2) - это математическое ожидание квадрата случайной величины X. То есть, нужно найти математическое ожидание квадрата числа правильных ответов X.

Подставляя значения в формулу, получаем:

D(X) = [0^2 * (3/4)^5 + 1^2 * C(5, 1) * (1/4)^1 * (3/4)^4 + 2^2 * C(5, 2) * (1/4)^2 * (3/4)^3 + 3^2 * C(5, 3) * (1/4)^3 * (3/4)^2 + 4^2 * C(5, 4) * (1/4)^4 * (3/4)^1 + 5^2 * (1/4)^5] - [M(X)]^2

Таким образом, мы можем найти закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании, а также математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Мне надеюсь, что мой подробный ответ помог вам понять эту проблему! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!